Expresión de forma cerrada para el producto $\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1 - \frac{1}{ak}\right)$

Question

Un método simple para la evaluación de un producto es el plazo de cancelación. Por ejemplo, el producto

$$\begin{align*} \prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)&=\prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k-1}{k}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n-1}{n} = \frac{1}{n} \end{align*}$$

se realiza a través de una telescópica argumento. Sin embargo, si tenemos un producto que es un poco más complicado, decir

$$\prod_{k=1}^{n}\left(1 - \frac{1}{ak}\right)$$

para algunos $0,1 \neq a \in \mathbb{R}$, el argumento de inmediato se rompe. Estoy interesada en saber si existe una solución de forma cerrada para el general de los productos, dado anteriormente.

Esta pregunta es, en parte inspirado por mi intento de demostrar la asintótica enlazado aquí.

Answer 1

$$ \prod_{k=1}^{n}\left (1 - \frac{1}{ak}\right)=\frac{\Gamma(n+1-\frac1a)}{\Gamma(1-\frac1a)\Gamma(n+1)} = \frac1 {n\mathrm B(n,1-\frac1a)} $$

Answer 2

$$\prod_{k=1}^n\left(1 - \frac1{ak}\right)=\frac{\prod\limits_{k=1}^n \left(k-\frac1{a}\right)}{n!}=\frac{\prod\limits_{k=0}^{n-1} \left(-\frac1{a}+k+1\right)}{n!}=\frac{\left(1-\frac1{a}\right)_n}{n!}$$

donde $(a)_n=\prod\limits_{j=0}^{n-1}(a+j)=\frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}$ es el símbolo de Pochhammer. (Esencialmente, la segunda expresión en respuesta de @Did.)