¿Cómo es la topología métrica más gruesa para que la función métrica sea continua?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico con métrica $d$ . Si $\mathcal{T}$ es una topología en $X$ tal que la función $d\colon X \times X \to \mathbb{R}$ es continua, entonces cómo demostrar que $\mathcal{T}$ es más fina que la topología inducida por la métrica $d$ ?

En otras palabras, cómo demostrar que si $X$ tiene una métrica $d$ entonces la topología inducida por $d$ es la topología más gruesa con respecto a la cual la función $d$ es continua?

Answer 1

Para demostrar que el $d$ -la topología métrica es más gruesa que $\mathcal{T}$ debemos demostrar que cada $d$ -el conjunto abierto es $\mathcal{T}$ -abierto. Por supuesto, basta con demostrar que cada $d$ -la pelota es $\mathcal{T}$ -abierto (ya que el $d$ -las bolas forman una base para la $d$ -topología métrica). Para demostrar que la $d$ -bola $B ( x , \epsilon )$ es $\mathcal{T}$ -abierto basta con encontrar para cada $y \in B ( x , \epsilon )$ a $\mathcal{T}$ -barrio abierto $V$ de $y$ tal que $V \subseteq B ( x , \epsilon )$ .

En primer lugar, la continuidad de $d$ implica que para cada $\epsilon > 0$ el conjunto $$U_\epsilon := \{ ( u , v ) \in X \times X : d ( u , v ) < \epsilon \} = d^{-1} [ ( -\infty , \epsilon ) ]$$ está abierto en $X \times X$ con respecto a la topología $\mathcal{T}$ (o $\mathcal{T} \times \mathcal{T}$ Si lo desea).

Ahora, teniendo en cuenta $x \in X$ y $\epsilon > 0$ queremos mostrar para todos $y \in B ( x , \epsilon )$ que hay un $\mathcal{T}$ -sistema abierto $V$ con $y \in V \subseteq B ( x , \epsilon )$ . Como $y \in B ( x , \epsilon )$ se deduce que $( x , y ) \in U_\epsilon$ y como $U_\epsilon$ es un $( \mathcal{T} \times \mathcal{T} )$ -subconjunto abierto de $X \times X$ Hay $\mathcal{T}$ -abrir $U , V \subseteq X$ tal que $$( x , y ) \in U \times V \subseteq U_\epsilon.$$ En particular $V$ es un $\mathcal{T}$ -barrio abierto de $y$ .

Tenga en cuenta que dado cualquier $z \in V$ tenemos que $( x , z ) \in U \times V \subseteq U_\epsilon$ por lo que por definición de $U_\epsilon$ se deduce que $d ( x , z ) < \epsilon$ lo que significa que $z \in B ( x , \epsilon )$ . Podemos entonces concluir que $V \subseteq B ( x , \epsilon )$ .

Answer 2

Basta con demostrar que si $\{x_i\}_{i\in I}$ es una red que converge a $x$ en $\mathcal{T}$ entonces $\{x_i\}_{i\in I}$ converge a $x$ en $d$ (porque entonces cualquier conjunto cerrado en $\mathcal{T}$ será cerrado en la topología métrica). Pero si $x_i \rightarrow x$ en $\mathcal{T}$ entonces $(x_i,x) \rightarrow (x, x)$ en $\mathcal{T}\times \mathcal{T}$ y por lo tanto, ya que $d$ es continua con respecto a $\mathcal{T}\times \mathcal{T}$ tenemos $d(x_i,x)\rightarrow d(x,x)=0$ es decir $x_i \rightarrow x$ en $d$ . Quiero mencionar que a menudo es más sencillo tratar con redes que con conjuntos abiertos en topología y creo que este problema es un buen ejemplo de ello.