¿Existen teorías de primer orden que son equiconsistent, pero que no puede ser demostrado para ser equiconsistent utiliza Aritmética de Peano? (Espero que no.)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No hay ninguna noción absoluta de "$T$ es equiconsistent con $S$". La definición depende de los antecedentes de la teoría (en la cual la prueba de la equivalencia entre el ${\rm Con}(T)$ ${\rm Con}(S)$ es llevado a cabo).
Normalmente, para el conjunto de proposiciones teóricas, por ejemplo, la Aritmética de Peano se supone; PRA basta, y menos aún puede ser hecho para trabajar. Las teorías relevantes se mencionan en las respuestas a este MO pregunta, que usted podrá encontrar muy interesante, independientemente de este. El punto aquí es que, a decir que dos teorías son equiconsistent se entiende que PA demuestra su equiconsistency, así que la respuesta a tu pregunta es no, por definición. Pero permítame enfatizar de nuevo que la definición requiere que se especifique si el fondo de la teoría es PA, o PRA, o lo que sea, y que esto importa.
Los fragmentos de la aritmética, usted quiere que su fondo la teoría a ser muy débil; en general, usted no desea que el fondo de la teoría a la ya de probar tanto ${\rm Con}(T)$ ${\rm Con}(S)$ (Naturalmente, esto complica las cosas a veces, y no sólo en el contexto de la muestra equiconsistency de teorías.) Para un ejemplo tonto, ZFC demuestra que la PA y Z (Zermelo) son equiconsistent, ya que demuestra que ambas teorías tienen modelos, pero este es tonto; argumentando sobre, digamos, PA, tenemos mucho más razonable conclusión de que Z demuestra la consistencia de PA y por lo tanto es estrictamente más fuerte.
Si $T$ $S$ son muy fuertes, es concebible que uno estaría dispuesto a conformarse con una "débil equiconsistency" resultado, donde sus equiconsistency es relativo a un significativamente fuerte de fondo de la teoría, y es concebible que tal equiconsistency podría ser independiente de la PA. Sin embargo, no sé de cualquiera de los ejemplos donde hay necesidad de hacer esto.
JoshL
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Hay un fenómeno que ocurre cuando miramos a preguntas como estas, que a menudo hace que las respuestas carentes de interés.
Deje $S = \{\phi_n\}$ será el habitual eficaz enumeración de los axiomas de la PA. Definir una teoría de la $T = \{\psi_1, \psi_2, \ldots\}$ donde $\psi_i = \phi_i$ si $i$ es un código de prueba de $0=1$ a partir de los axiomas de ZFC, en cuyo caso $\psi_i$$0=1$. Tenga en cuenta que $T$ es un eficaz la teoría en la que podemos escribir una sola, fijo programa para enumerar los axiomas en la forma que acabamos de describir. Por lo tanto, cuando se formaliza $T$ inide PA o ZFC, lo hacemos mediante el uso de este programa en particular para enumerar los axiomas de la $T$ hacer Con el predicado $T$.
Ahora ZFC es consistente, por lo que, de hecho, $T$ es la misma teoría que $S$, y por lo tanto son equiconsistent. Pero ZFC no puede probar la $S$ es la misma teoría que $T$, debido a que ZFC no puede demostrar que ZFC es consistente, y la definición de $T$ aprovecha este. Por lo tanto ZFC puede demostrar $\operatorname{Con}(S)$ pero no $\operatorname{Con}(T)$, por lo que ZFC no puede demostrar que $S$ $T$ son equiconsistent.
Afinando el original teorías $S$$T$, podemos producir ejemplos donde ZFC demuestra la equiconsistency, pero PA no, o donde PA demuestra la equiconsistency, sin embargo, la débil eficaz de la teoría de la aritmética $W$ no (donde la consistencia de $W$ es demostrable en PA).
Este fenómeno se presenta en muchos lugares cuando empezamos a estudiar formalizado teorías dentro de ZFC o PA. En cualquier momento podemos cuantificar sobre todos los efectivos de las teorías, esto incluye teorías, tales como $T$ que se comportan bien en el modelo estándar, pero hacer cosas extrañas cuando formalizado y, a continuación, se visualizan en un modelo no estándar. Por esta razón, es generalmente el aspecto más interesante equiconsistency natural teorías con sus canónica axiomatizations en lugar de con la arbitraria axiomatizations.
