¿Puedo saber cómo esta integral se evaluó usando la teoría de integrales elípticas?

Question

No puedo resolver las siguientes integrales usando la teoría de las integrales elípticas:

$$\int_a^b \frac{\sin(x)}{\sqrt{c-\sin(x)}}dx$$

Donde $a\geq 0, b>0, c>0$.

Wolfram$|$Alfa mostró el siguiente resultado:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B%2F%2Fmath:sinx%2F(sinx)%5E(1%2F2)%2F%2F%5D+dx

Pero no entiendo cómo Wolfra$|$Alfa llegó a este resultado.

Gracias de antemano.

P. S:

Cómo pueden ellos también han resultado en la forma de funciones hipergeométricas ?

Answer 1

Voy a mostrar la relación con la elíptica integrales, como dije en un comentario (y Albas en el siguiente comentario):

$$\sin(x)=-\sin(-x)=-\cos \left(x +\frac{\pi}{2} \right)=-1+2 \sin^2 \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right)$$

$$\phi=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}$$

$$x=2\phi-\frac{\pi}{2}$$

$$\alpha=\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4}$$

$$\beta=\frac{b}{2}+\frac{\pi}{4}$$

$$\gamma=\sqrt{\frac{2}{c+1}}$$

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$$\int_a^b \frac{\sin(x)}{\sqrt{c-\sin(x)}}dx=\sqrt{2} \gamma \int_\alpha^\beta \frac{-1+2 \sin^2 \phi}{\sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi}}d\phi=$$

$$=2\sqrt{2} \gamma \int_\alpha^\beta \frac{\sin^2 \phi ~d\phi}{\sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi}}-\sqrt{2} \gamma \int_\alpha^\beta \frac{d\phi}{\sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi}}$$

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La segunda integral es incompleta integral elíptica de primera especie $F(\alpha, \gamma)-F(\beta, \gamma)$ y el segundo puede ser calculado en términos de incompleta de las integrales elípticas de primera y segunda clase.

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Voy a mostrar la solución completa para el caso más fácil de completar las integrales elípticas.

$$\alpha=0$$

$$\beta=\frac{\pi}{2}$$

Esto significa que:

$$a=-\frac{\pi}{2}$$

$$b=\frac{\pi}{2}$$

Ahora la segunda integral, acaba de ser:

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\phi}{\sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi}}=K(\gamma)$$

Por otro lado, la integral elíptica completa de la segunda clase se define:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi} ~~d\phi=E(\gamma)$$

$$\frac{d E}{d \gamma}=-\gamma \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 \phi ~d\phi}{\sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi}}=\frac{1}{\gamma}(E(\gamma)-K(\gamma))$$

Así que la primera integral es:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 \phi ~d\phi}{\sqrt{1-\gamma^2 \sin^2 \phi}}=\frac{1}{\gamma^2}(K(\gamma)-E(\gamma))$$