¿Cadenas y co-cadenas saben lo mismo sobre el colector?

Question

Esta pregunta se inspira en Cuasi-isomorfismo de Poincaré

Sea $M$ sea una $n$ -manifold. El producto cap con la clase fundamental de $M$ induce un isomorfismo $H^i(M,\mathbf{Z})\to H_{n-i}(M,\mathbf{Z})$ . Tanto el origen como el destino son anillos. (Para la definición del producto homológico de intersección, véase, por ejemplo, McClure http://arxiv.org/abs/math/0410450 o el primer artículo de M. Goresky y R. MacPherson sobre la homología de intersección). No es demasiado difícil demostrar que el isomorfismo de Poincar'e respeta la estructura del anillo.

La pregunta es: ¿hasta qué punto es esto cierto a nivel de cadena?

Más concretamente, las cadenas PL de Goresky y MacPherson de una variedad forman un dga conmutativo parcial (véase el artículo de McClure mencionado anteriormente). Las co-cadenas singulares forman un dga no conmutativo que puede completarse a un $E_{\infty}$ -que es otro tipo de estructura. Así que una forma de precisar la pregunta anterior sería la siguiente:

1. ¿Existe una forma natural de convertir las cadenas PL de un manifold PL en un $E_\infty$ álgebra? (En el artículo mencionado McClure promete hacerlo en otro artículo, pero no sé si los detalles están disponibles).

2. Si la respuesta a 1. es positiva, entonces se puede completar el producto de tapa de nivel de cadena con el ciclo fundamental en un $E_{\infty}$ ¿morfismo?

Answer 1

También puede consultar la obra de David Chataur sobre el tema. He oído que demuestra que para cualquier espacio de Dualidad de Poincare, cada "isomorfismo de Dualidad de Poincare" de cohomología a homología da lugar a un "único" $E_{\infty}$ cuasi-isomorfismo de la $E_{\infty}$ estructura en co-cadenas a la de Wilson $E_{\infty}$ estructura en cadenas.