¿Por qué y cómo es la forma Jordan Canonical de una matriz en $M_3(\mathbb C)$ completamente determinado por sus polinomios característicos y un mínimos? Y ¿por qué no $n >3$?
Gracias.
Respuesta
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Si $A\in M_3$ tiene un autovalor $a$, entonces su polinomio característico es $(x-a)^3$, y su mínimo polinomio es $x-a$, $(x-a)^2$, o $(x-a)^3$. La única correspondiente posibilidades de Jordan en la forma son, respectivamente, a 3 cuadras de tamaño 1 ($A=aI$), un bloque de tamaño 2 y por lo tanto, otro de tamaño 1, y un bloque de tamaño 3. Del mismo modo, las posibilidades se determina si hay más de un autovalor.
En $M_4$, considere las matrices $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$.
Desde el polinomio característico $(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}$ de una matriz de $A\in M_n$ con distintos autovalores $a_1,\ldots,a_k$, se puede ver que los bloques de Jordan para el autovalor $a_j$ tener tamaños de la adición de a $n_j$. El mayor tamaño de uno de estos bloques es el exponente de $(x-a_j)$ que aparecen en el polinomio mínimo de a $A$. En el caso de $n_j=3$, el único de los posibles tamaños de los bloques son $1+1+1$, $2+1$, y $3$, por lo que el tamaño máximo de un bloque (el exponente en el mínimo polinomio) determina la descomposición de $a_j$. Si $n_j=2$ $1+1$ $2$ posible Jordania estructura, por lo que nuevamente se determina por el mayor tamaño de un bloque. Pero cuando $n_j>3$, siempre hay descomposiciones como $2+2+[n-4\text{ ones}]$ $2+1+1+[n-4\text{ ones}]$ que tienen el mismo tamaño de bloque (con el mismo exponente en el polinomio mínimo), pero son diferentes Jordania formas.
