¿Los conjuntos de Baire de $\mathbb{R}$ contienen los conjuntos de Borel de $\mathbb{R}$?

Question

Estoy tratando de ganar algo de intuitivo caracterización de la Baire subconjuntos de a $\mathbb{R}$. He visto diferentes definiciones de Baire subconjuntos (que supongo que son equivalentes), pero aquí es una caracterización de Royden:

La Baire subconjuntos de a $X$ (denotado $\mathcal{B}$) son equivalentes a los más pequeños de $\sigma$-álgebra generada por $\{G_\delta\}$ donde $G_\delta$ es una contables de intersección de los subconjuntos abiertos de $X$.

Si $X = \mathbb{R}$, no, a continuación, $\mathcal{B}$ contienen los subconjuntos de Borel $\mathbb{R}$ desde cualquier conjunto abierto $O \subseteq \mathbb{R}$$G_\delta$, de modo que desde la apertura de los conjuntos de $\mathbb{R}$ generar los Conjuntos de Borel de $\mathbb{R}$, $\mathcal{B}$ contener al menos los subconjuntos de Borel $\mathbb{R}$?

Answer 1

Con su definición de la "Baire conjuntos" $\mathcal{B}'$ $\sigma$- álgebra generada por la $G_\delta$-conjuntos, lo que obtenemos es el $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}$ de los conjuntos de Borel. La razón es que el $\mathcal{B}'$ contiene la establece, como se observó, por lo $\mathcal{B}' \supseteq \mathcal{B}$ y desde el Borel $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}$ contiene los bloques abiertos y es cerrado bajo tomando contables de las intersecciones de ello se sigue que $\mathcal{B}$ contiene todos los $G_\delta$ -, por lo $\mathcal{B} \supseteq \mathcal{B}'$. Por lo tanto, $\mathcal{B} = \mathcal{B}'$ y que no tendría ningún sentido para distinguir los dos conceptos.

La definición habitual de la Baire $\sigma$-álgebra $\mathcal{Ba}$ (en un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$) es el $\sigma$-álgebra generada por el compacto $G_\delta$-conjuntos, o, de manera equivalente, el $\sigma$-álgebra de hacer todas las funciones continuas con soporte compacto medibles. Puesto que el $\sigma$-álgebra $\mathcal{B}$ de los conjuntos de Borel contiene todos los conjuntos cerrados, contiene todos los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff, así que siempre tenemos la inclusión de $\mathcal{B} \supseteq \mathcal{Ba}$.

Con la primera descripción podemos ver que en $\mathbb{R}$ los conjuntos de Borel y la Baire conjuntos coinciden: compacto intervalos de $[a,b]$ son contables intersecciones de abrir intervalos: $[a,b] = \bigcap_{n=1}^\infty\left(a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}\right)$, por lo que cada intervalo compacto es compacto $G_\delta$, por lo tanto $[a,b] \in \mathcal{Ba}(\mathbb{R})$ siempre $a \leq b$. Además, cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ es una contables de la unión de intervalos abiertos y cada intervalo abierto $(a,b)$ puede ser escrito como $(a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty \left[a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}\right]$, lo que muestra que $(a,b) \in \mathcal{Ba}(\mathbb{R})$ y, por tanto, $\mathcal{Ba}(\mathbb{R})$ contiene todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$, lo $\mathcal{Ba}(\mathbb{R}) \supseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Esto fácilmente se generaliza a $\mathbb{R}^n$ y, de forma más general, $\mathcal{Ba}(X) = \mathcal{B}(X)$ mantiene en cada segundo contables localmente compacto Hausdorff espacio.

Aquí hay dos ejemplos simples que usted debe pensar acerca de:

1. Para cada espacio discreto $X$ tenemos $$\mathcal{Ba}(X) = \{A \subseteq X : \text{ either } A \text{ is countable or } X \setminus A \text{ is countable}\}$$ mientras que el $\sigma$-álgebra de $X$$\mathcal{B}(X) = \mathcal{P}(X)$, el juego de poder de $X$. En particular, $\mathcal{Ba}(X) \subsetneqq \mathcal{B}(X)$ siempre $X$ es incontable.

2. Si se toma el punto de compactification $X^\ast = X \cup \{\infty\}$ de un sinnúmero de espacio discreto $X$ $\{\infty\} \in X^\ast$ es un ejemplo estándar de un conjunto compacto que no es un $G_\delta$-set.