Aproximaciones en péndulo simple

Question

En la aproximación $$-(g/ \ell) \sin \theta \approx -(g/ \ell) \theta $$ we make an error $R$ which is $O(\theta ^3)$. If i did well my calculations it is estimated by $$R\leq|(g / \ell)(\theta^3/3!)|$$ sin embargo, esto no es esencial a mis dos preguntas.

P#1: hacemos la estimación del error para $\ddot \theta$. ¿Cómo funciona el error de reflexionar sobre la solución? Una primera idea que viene a mi mente es la siguiente: estamos negliging un factor de $R$ en la segunda derivada del ángulo, por lo que la aproximación de $R$ como constante, el error en $\theta$ debe ser algo como: $$ \int _0 ^t \int _{0} ^{t'} R dt' dt'' = 0.5 R t^2 .$$

P#2 Después de llegar a la solución: $$\theta(t) \approx \theta _0 \cos (\sqrt \frac {g}{\ell} t) $$ habiendo establecido $\dot \theta (0) =0$, nuestro maestro hizo la siguiente. Él se replantea la ecuación: $$\ddot \theta =-(g / \ell) \sin \theta \approx -(g / \ell) \theta (1-\theta ^2 /3!)\approx -(g / \ell) \theta (1-\frac{<\theta ^2 >}{3!}),$$ donde: $$<\theta ^2>=\dfrac{1}{T} \int _0 ^T \theta ^2 \, dt .$$ Ahora, para evaluar la integral, se utiliza la primera solución: $$\dfrac{1}{T} \int _0 ^T \theta ^2 \, dt =\dfrac {1}{T}\int _0 ^T \theta _0 ^2 \cos ^2 (\sqrt {.} t)dt=\frac{\theta _0^2}{2}$$ Por lo tanto: $$\ddot \theta \approx (-g/\ell)(1-\dfrac{\theta _0 ^2}{12})\theta ,$$ que debe ser mejor a partir de la primera solución. Ahora, aparte de la gran cantidad de aproximaciones que tal vez te haga sentir incómodo como yo, la segunda pregunta es: ¿es lógico utilizar la primera aproximación para calcular el $<\theta ^2>$, lo que necesitamos para la mejor aproximación? No debería la segunda solución, ser independiente de la primera para mejorarla?

Answer 1

Para la pregunta 2, de hecho, tiene sentido para la reutilización de la solución aproximada ya que se considera que la solución real no es muy diferente de la que usted ya ha calculado.

Creo que cuando escribes : $-(g / \ell) \theta (1-\theta ^2 /3!)\approx -(g / \ell) \theta (1-\frac{<\theta ^2 >}{3!})$

usted está haciendo una aproximación en 2 niveles : en primer lugar, considerar la posibilidad de que el error cometido en el plazo $\theta^2$ podría ser un promedio de más de un período y el segundo se supone que este término es, en realidad, no muy lejos de la que ya se ha encontrado con un primer orden de aproximación.

Que sería interesante llevar a cabo de forma numérica mediante la comparación de este enfoque de la solución dada por un método numérico. En cualquier caso, esta demostración es muy aproximado, pero dará mejores resultados que el primer orden de aproximación!

Sobre tu primera pregunta, creo que tu idea es muy interesante, a pesar de considerar R como constante que no es cierto, ya $\theta$ se convierte en nulo dos veces en un período. Por lo tanto su integración con un error, el cual es más grande que el de la desigualdad.

Answer 2

Este es el corazón de la teoría de la perturbación tiene una solución exacta a un problema, en este caso el oscilador armónico Para ángulos pequeños,$\sin \theta \approx \theta$, por lo que para las pequeñas $\theta$ tiene el oscilador armónico solución. En general, si la solución está cerca de usted puede ampliar la diferencia en serie de Taylor y cada término sólo afectará a los términos de orden superior en la pequeña parámetro, en este caso $\theta$, por lo que la solución se presenta como una potencia de la serie en $\theta$ a Menudo, cada una de las sucesivas plazo es más difícil de calcular, así que dejas cuando te cansas.