Hay varios problemas con su enfoque.
Es cierto que después de colocar $x_1$, $\binom{n-r-1}{r-1}$ maneras de colocar el resto de los $r-1$ de los puntos, pero no has tenido en cuenta el hecho de que no se $n-r$ diferentes plces poner $x_1$.
Cada uno de los puntos de $x_k$ da lugar a la misma serie de acuerdos, por lo que incluso si el $\binom{n-r-1}{r-1}$ figura correcta para que el régimen después de colocar $x_1$, usted no debe multiplicar por nada.
Incluso si fuera cierto que para cada una de las $x_k$ obtener $\binom{n-r-1}{r-1}$ arreglos diferentes, y diferentes puntos de $x_k$ le dio arreglos diferentes, hay$r$$x_k$, no $n$, por lo que el número total de diferentes medidas serían $r\binom{n-r-1}{r-1}$ arreglos, no $n\binom{n-r-1}{r-1}$.
Su enfoque puede ser, pero tienes que ser bastante cuidadoso. Imagina que el $n$ puntos están numerados de derecha a izquierda desde $1$$n$. Supongamos que tenemos una lista de las lagunas $G_1,\ldots,G_{n-r}$ en orden de las agujas del reloj. Hay $\binom{n-r}r$ formas para recoger $r$ estos $n-r$ huecos para los puntos de $x_1,\ldots,x_r$, lo que voy a asumir que se enumeran en el orden consecutivo de las agujas del reloj. Sin embargo, este overcounts. Específicamente, estamos contando cada una selección de $r$ $n-r$ veces. Esto puede ser un poco difícil de ver, así que permítanme utilizar un ejemplo concreto. Supongamos que ponemos a $x_1$ en $G_1$, $x_2$ en $G_2$, y así sucesivamente, finalmente situar $x_r$$G_r$. Esto significa que hay una unchosen punto entre el$x_1$$x_2$, uno unchosen punto entre el$x_2$$x_3$, y así sucesivamente a uno unchosen punto entre el$x_{r-1}$$x_r$, con el resto de unchosen puntos entre el$x_r$$x_1$.
Ahora supongamos que en lugar de que pongamos $x_1$ en $G_2$, $x_2$ en $G_3$, y así sucesivamente, finalmente situar $x_r$ a $G_{r+1}$. Esto también significa que hay una unchosen punto entre el$x_1$$x_2$, uno unchosen punto entre el$x_2$$x_3$, y así sucesivamente a uno unchosen punto entre el$x_{r-1}$$x_r$, con el resto de unchosen puntos entre el$x_r$$x_1$. En otras palabras, obtenemos exactamente la misma circular progresión de la elegida y unchosen puntos. Lo mismo es cierto no importa que la disparidad se $x_1$, siempre que $x_2,\ldots,x_r$ son consecutivamente poner en lagunas adyacentes de las agujas del reloj. Hay $n-r$ lagunas, y podríamos empezar por poner $x_1$ en alguna de ellas, por lo que hay $n-r$ formas de obtener exactamente la misma circular progresión de la elegida y unchosen puntos. Y lo que es la verdad de la disposición que tenemos cuando se nos ponen los puntos elegidos en huecos consecutivos es cierto para cualquier otro arreglo así. Por lo tanto, estamos contando cada uno de acuerdo $n-r$ tiempos y la necesidad de dividir por $n-r$. Ello nos da
$$\frac1{n-r}\binom{n-r}r=\frac1r\binom{n-r-1}{r-1}\;.\tag{1}$$
Por supuesto, usted sabe que esto no es correcto, ya que le falta un factor de $n$; ¿qué hemos perdido?
El problema es que sólo hemos establecido la relación de las posiciones de los puntos elegidos: sabemos cuántos unchosen puntos hay entre consecutivos puntos escogidos, pero no sabemos si el primer punto elegido es el punto de $1$, punto de $n$, o algo en el medio. Así, cada una de las modalidades de elegido y unchosen puntos que hemos contado en realidad corresponde a la $n$ diferentes opciones de $r$ de puntos con el mismo espaciado entre los puntos elegidos. Y que nos da el factor faltante de $n$: hay realmente
$$\frac{n}r\binom{n-r-1}{r-1}$$
las formas para elegir el $r$ puntos.
Si nos preocupáramos sólo sobre el espaciado de los puntos elegidos y no acerca de su absoluta posiciones alrededor de la circunferencia, ya no había necesidad de hacer esa última corrección: $(1)$ sería el número de la derecha.
