Esta es pregunta 3.3 de Alan Karr ' s probabilidad

Question

¿Cuál es el número mínimo de puntos de un espacio muestral debe contener a fin de que no existe $n$ eventos independientes, ninguno de los cuales tiene probabilidad cero o uno?

Estoy pensando la respuesta es $2^n$, pero esto es sólo a partir de la comprobación de la mano de los valores de $n=2$$n=3$. Pensé que tal vez una prueba por inducción sería apropiada, pero no lo hacen terriblemente lejos con esto.

Yo soy simplemente el estudio de la probabilidad, porque quiero ser mejor, y esto parece ser bastante clásico problema. Así que me pareció un buen problema para entender.

Answer 1

Teniendo en cuenta la independencia de los acontecimientos indicados por la pregunta y teniendo en cuenta que, por definición, dos subconjuntos/eventos que son mutuamente excluyentes (discontinuo) no puede ser independiente, podemos señalar que cualquier par de eventos $X_i$ $X_j$ no debe ser distinto. Esto significa que la intersección entre el $X_i$ $X_j$ tiene que contener al menos un punto.

Podemos generalizar esto al señalar que cualquier intersección entre los eventos $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, ... $Y_N$ tiene que contener al menos un punto, independientemente de si $Y_j$ corresponde a $X_j$ o a un "múltiplo de" evento"$X_j^z$. Como resultado, todas las intersecciones de cualquier combinación de $Y_j$, con j = 1 a N, debe incluir al menos un punto. Debido a que el número de estas combinaciones es $2^N$, tenemos que el espacio muestral debe tener un tamaño mínimo de $2^N$.

También tenga en cuenta que los resultados de esto sólo representa un límite inferior para el tamaño de la muestra en el espacio, como se indica en la pregunta. Un simple ejemplo de espacio con el tamaño de la $2^N$ más que $N$ eventos independientes puede ser identificado de modo que ninguno tiene probabilidad igual a cero o 1 está dada por una secuencia de $N$ coin flips. Aquí el espacio de muestreo se caracteriza por $2^N$ puntos, y en virtud de la distribución uniforme de cada espacio punto tiene probabilidad igual a $1/2^N$. Teniendo en cuenta el $N$ eventos $Y_1$, $Y_2$... $Y_N$, donde $Y_j $ indica que el caso de que en el j-ésimo flip tenemos (por ejemplo) de la cabeza, estas son las $N$ claramente los eventos independientes, cada una con $1/2$ de probabilidad.

Answer 2

Considerar eventos independientes no trivial $\{A_i\}_{i=1}^n$. Ahora, utilizan el hecho de que cualquier $\alpha\in\{0,1\}^n$, la familia $\{B_i^{\alpha_i}\}$ independiente (véase, por ejemplo, el teorema 2.5. en Klenke, teoría Prob.), donde $B_i^{\alpha_i}=A_i$, si $\alpha_i=0$ y $A_i^c$, si $\alpha_i=1$.

Es decir, para cualquier $\alpha\in\{0,1\}^n$, $\bigcap_{i=1}^nB_i^{\alpha_i}$ debe ser no vacío (independencia falle). Por construcción, estos conjuntos son disjuntos y deben contener al menos un elemento. Por lo tanto, $|\Omega|\ge|\{0,1\}^n|=2^n$.