Cómo utilizar los teoremas de Sylow para demostrar que un subgrupo de $SL_2(\mathbb{F}_3)$ es normal.

Question

He a $G = SL_2(\mathbb{F}_3)$ $H = \langle i, j \rangle$ donde $$ i = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad j = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} $$ (En otras palabras, $H$ es el quaaternion grupo).

La parte del ejercicio en el que estoy trabajando pregunta:

Mostrar que $H$ es un subgrupo de $G$. El uso de Sylow de la teoría para demostrar que $H$ es normal.

Hasta el momento, no han logrado demostrar que $H$ es de hecho un subgrupo de $G$, pero estoy teniendo un tiempo difícil averiguar cómo proceder para demostrar que es un subgrupo normal. A partir de los teoremas de Sylow, he conseguido hasta el momento a la conclusión de que $H$ es un Sylow 2-subgrupo, y que no debe ser de 1 o 3 Sylow 2-subgrupos de $G$, ya que el $n_p \equiv 1 \mod 2$$n_p \bigm| |G| = 24$.

Como este es para mi tarea, no estoy pidiendo que se completa de soluciones para el problema, solo necesito algunos consejos para ayudarte a mí, junto a la respuesta correcta.

Answer 1

Una estrategia opcional: % Let $N_G(H)$denota normalizador de $H$. Sabes ya que tanto $N_G(H)=G$ o $N_GH=H$. Por lo tanto, basta para encontrar un elemento $g\in G\setminus H$ que satisface $gHg^{-1}=H$. Escoge un $g\in G\setminus H$. para verificar la última igualdad, basta comprobar que $gig^{-1},gjg^{-1}\in H$.

Supongo que una de las ventajas de esta estrategia es que es simple y no implica demasiados cálculos. Por otro lado, sería agradable encontrar una prueba basada en argumentos más generales.

Answer 2

¿Qué busca en el subgrupo de Sylow 3? $A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]$ tiene orden 3. Y $BAB^{-1}\not\in<A>$ $B=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right]$. Por lo tanto hay cuatro subgrupos de Sylow 3. Desde $|G|=24$, que no deja espacio suficiente para tres Sylow 2 subgrupos de cada de orden 8.