Energía potencial tiende a infinito en el problema de N cuerpos

Question

Necesito ayuda para resolver este problema se relaciona con la N-Cuerpo problema, no entiendo muy bien de lo que necesita para definir o expresar con el fin de resolverlo.

Suponemos una solución particular a la N-Problema de Cuerpo, para todos los $t>0$, e $h>0$ donde $h$ es la energía total de los N-Cuerpos, muestran que $U\rightarrow \infty $$t\rightarrow \infty $. Esto significa que la distancia entre un par de partículas tiende a infinito? (No.)

En la N-problema de Cuerpo $U$ está dado por $U=\sum_{1\leq i< j\leq N}\frac{Gm_{i}m_j}{\left \| q_i-q_j \right \|}$ donde $G$ es la constante gravitacional. La energía Cinética es $T=\sum_{i=1}^{N}\frac{\left \| p_i \right \|^2}{2m_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_i{\left \| \dot{q}_i \right \|^2}$

El vector $q_{i}$ se define el vector de posición de la $i$ de las partículas. Así que, Básicamente, $U$ es como la suma de todas las energías potenciales entre todos los $N$ de las partículas. También por el Lagrange Jacobi Fórmula, tenemos que $I$ es el momento de inercia, $T$ la energía cinética de modo que podemos expresar:

$$\ddot{I}=2T-U=T+h\quad,$$

donde $h$ es una cantidad conservada.

Yo creo que si $U\rightarrow \infty $, $T\rightarrow \infty$ (debido a $h$ es constante), el problema es que la única manera que veo a $U\rightarrow \infty $ es cuando la distancia entre todas las partículas de $\left \| q_i-q_j \right \| \rightarrow 0$, pero no significa que será un choque, así que si tenemos una colisión, a continuación, $t\rightarrow t_1$ e no $\infty$, debido a una colisión toma una cantidad finita de tiempo (Sundmanns teorema de colapso total), como ya he dicho no sé qué tengo que definir para mostrar que $U\rightarrow \infty $$t\rightarrow \infty $, o tal vez lo que necesita para definir un $q_i(t)$ que de alguna manera ese $\left \| q_i-q_j \right \| $ va muy cercano a cero, pero nunca de cero, por lo $t$$t\rightarrow \infty$?

También, ¿qué acerca de la cuestión de un par de partículas que va hasta el infinito? Es evidente que ellos no deben ir a la $\infty$ porque $U\rightarrow 0$, y estamos tratando de demostrar que el otro caso.

Answer 1

Del teorema de virial, Estados Estacionarios se dan en $2T=U$. La "solución particular" asume tu profesor es un gravitacional derrumbamiento donde $U \gt 2T$ y $U\rightarrow \infty$ $t\rightarrow \infty$. Por supuesto, la distancia entre partículas va a cero en un colapso, pero no se trata de una colisión: hay un límite inferior en caso de accidente y después de las partículas de colisión aumentan su separación. Es una evolución asintótica hacia una singularidad en un colapso.