¿El axioma de elección y su negación tiene consecuencias contradictorias para la aritmética?

Question

¿Existe una declaración de P en el lenguaje de primer orden de la aritmética, de tal manera que P es un teorema de ZFC, y no P es un teorema de ZF + no C? En otras palabras, la cuestión de si el axioma de elección es cierto o no tener un efecto sobre lo que las verdades de primer orden de la aritmética? ¿Qué pasa si reemplazamos la primera orden de operaciones aritméticas con los de orden superior de la aritmética?

Si no existe tal declaración, entonces, ¿existe alguna instrucción X independiente de ZF, para el que no hay una declaración de P en primer orden de la aritmética tales que P es un teorema de ZF + X y no P es un teorema de ZF + no X? (O reemplazar ZF con ZFC.) Por supuesto que hay ejemplos como el de la Estafa(ZF) y no Con(ZF), pero estoy buscando las declaraciones de X tal que ni ZF + X ni ZF + no X es obviamente falsa. O para decirlo de otra manera, quiero una declaración de que no estamos obligados a creer o no creer, si se acepta la solidez de ZF (o ZFC).

Ahora la hipótesis continua puede ser escrito como una declaración de tercer orden de la aritmética, y es independiente de ZFC. ¿Y su negación contradictorios consecuencias de primer orden de la aritmética? ¿Tienen contradictorias consecuencias de segundo orden de la aritmética?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

Answer 1

Si $P$ es un enunciado en el primer orden de la aritmética, a continuación, $P$ es absoluta entre el$V$$L$. Esto significa que $P$ que es verdad en $V$ si y sólo si es verdadera en $L$. Desde el axioma de elección es cierto en $L$, esto significa que la respuesta es negativa. De igual manera para la hipótesis continua, que siempre es verdadera en $L$.

La clave del teorema de aquí es Shoenfield del teorema de completitud. Este teorema también es válido para "bastante simple" de segundo orden de las declaraciones.

En cuanto a la declaración $X$ que puedan existir, tenga en cuenta que $V=L$ decide la mayoría de los "aspecto natural" de las declaraciones de la teoría de conjuntos (al menos aquellos que no requieren de una mayor consistencia a la fuerza, como las grandes cardenales). De modo que la misma lógica se aplica aquí también. Si queremos hablar de grandes señores cardenales, a continuación, tenga en cuenta que usted puede considerar siempre $V_\kappa$ $L_\kappa$ menos $\kappa$ que estos son los modelos de $\sf ZF$. Los números naturales están ahí, y es fácil ver que la misma afirmaciones son verdaderas en estos universos más pequeños, que no contienen grandes cardenales, como en el universo completo.

Por otro lado, hay varias afirmaciones teóricas que pueden ser tomadas como un conjunto de axiomas teóricos. Por ejemplo, $\newcommand{\con}{\operatorname{Con}}\con(\sf ZFC)$ $\lnot\con(\sf ZFC)$ son tales declaraciones. Si hay un modelo de $\sf ZFC$ en el universo, $\con(\sf ZFC)$ es cierto, pero en caso contrario es falsa. Por otra parte, si $\sf ZFC+\con(ZFC)$ es consistente, entonces podemos encontrar un modelo de $\sf ZFC+\lnot\con(ZFC)$. Nota, sin embargo, que en un modelo de $\sf ZFC+\lnot\con(ZFC)$ hay no estándar enteros (estándar no puede codificar una prueba de la contradicción de $\sf ZFC$).

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