Deje $S=\{0, 1, \infty\} \subset \mathbb{P}^1$ y deje $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}(\log S)$ ser la línea de haz de logarítmicas diferenciales a lo largo de $S$. Considerar la forma $$ \omega=\frac{dx}{x}+\frac{dx}{x-1} $$ which is an element in $H^0(\mathbb{P}^1, \Omega^1_{\mathbb{P}^1}(\log S))$ with residues $1$, $1$ and $-2$ at $0$, $1$ and $\infty$.
¿Cuál es el divisor de $\omega$ considerado como (racional) de la sección de $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}(\log S)$?
Escrito $$ \omega=\frac{2x-1}{x(x-1)}dx, $$ Yo diría que simplemente $$ \mathrm{div}(\omega)=[1/2], $$ since $x=1/2$ is the point where the numerator has a simple zero. But I am a bit confused about the difference between considering $\omega$ as a rational section of $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}$ or $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}(\log S)$.
Es ACEPTAR que $\mathrm{div}(\omega)$ tiene grado 1? Solo estoy de computación en la clase de Chern de $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}(\log S)$?
Alguien puede ayudarme?
