Integral indefinida $\int{\frac{dx}{x^2+2}}$

Question

Yo no puedo manejar resolver esta integral:

$$\int{\frac{dx}{x^2+2}}$$

El problema es el $2$ en el denominador, estoy tratando de descomponer en algo así como $\int{\frac{dt}{t^2+1}}$:

$$t^2+1 = x^2 +2$$ $$\int{\frac{dt}{2 \cdot \sqrt{t^2-1} \cdot (t^2+1)}}$$

Pero es aún más difícil que el original. También no puedo trato de fracción parcial descomposición porque el polinomio no tiene raíces. ¿Ho en?

Answer 1

Insinuación:

ps

Answer 2

Sugerencia: tomar $t=\frac{x}{\sqrt 2}$.

Answer 3

Me parece mucho más versátil cuando se enfrentan a un denominador de la forma $x^2 + a^2$, en lugar de sólo haber aprendido qué hacer cuando $a = 1$, uso el hecho de que: $$\int \dfrac{dx}{x^2 + a^2} = \dfrac 1a\arctan\left(\frac x{a}\right) + C$ $

¿Por qué? $$\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{dx}{a^2 \left(\frac{x^2}{a^2} + 1\right)} =\frac{dx}{a^2\left(\left(\frac{x}{a}\right)^2+1\right)} = \dfrac 1a\cdot\frac{(1/a) \,dx}{\left(\left(\frac{x}{a}\right)^2+1\right)} = \frac{1}{a}\cdot\frac{du}{u^2+1}, \;\;u = \frac xa$$

Aplicación de este hecho a su integral es bastante sencilla entonces:

$$\int{\frac{dx}{x^2+2}} = \int\frac{dx}{x^2 + \left(\sqrt 2\right)^2} = \frac 1{\sqrt 2} \arctan\left(\frac x{\sqrt 2}\right) + C$$

Answer 4

$$ \frac{dx}{x^2+2} = \frac{dx}{2\left (\frac {x ^ 2} {2} + 1\right)} = \frac{dx}{2\left(\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right)} = \frac{dx/\sqrt{2}}{\sqrt{2}\left(\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{du}{u^2+1} $$

Answer 5

$$\int\frac{dx}{x^2+2}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+1}$$

Ahora toma $u=\frac{x}{\sqrt{2}}$ y $du=\frac{1}{\sqrt{2}}dx$ para

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{du}{u^{2}+1}.$$

Esta última integral puede evaluarse desde $\int\frac{du}{u^{2}+1}=\arctan(u)+C$ donde C es una constante. Esto significa que la integral que estábamos considerando es

$\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(u)+D$ donde D es una constante arbitraria.