Funciones discontinuas que son continuas en cada línea en $\bf R^2$

Question

Este es el ejercicio 7 del capítulo 4 de Walter Rudin Principios de Análisis Matemático, 3ª edición. (Página 99)

Definir $f$$g$${\bf R}^2$: $$f(x,y) = \cases {0,&if $(x,y)=(0,0)$\\ xy^2/(x^2+y^4) y en caso contrario}$$

$$g(x,y) = \cases {0,&if $(x,y)=(0,0)$\\ xy^2/(x^2+y^6) y en caso contrario}$$

Probar que:

1. $f$ está delimitada en ${\bf R}^2$
2. $g$ es ilimitado en todos los barrios de $(0,0)$
3. $f$ no es continua en a $(0,0)$
4. Sin embargo, las restricciones de ambos $f$ $g$ a cada línea recta en ${\bf R}^2$ son continuas!

Este es uno de los pocos problemas específicos que recuerdo de mi carrera universitaria, que terminó hace algún tiempo. Lo recuerdo porque he trabajado muy duro durante mucho tiempo y cuando por fin he encontrado la respuesta parecía tan simple.

Answer 1

1. Considere la posibilidad de $0\le {(x\pm y^2)}^2 = x^2 \pm 2xy^2 + y^4$, lo $\pm 2xy^2\le x^2+y^4$, e $(\pm2)f(x,y) = (\pm 2){xy^2\over x^2+y^4}\le 1$ desde $x^2+y^4$ es no negativo. Tomando el signo negativo da $f(x) \ge-\frac 12$ y tomar el signo positivo da $f(x)\le\frac12$.

2. Deje $B$, y considerar el valor de $g$ en el punto de $((1/3B)^{-3}, (1/3B)^{-1})$. En este punto, $g$ toma el valor de $\frac{1\vphantom{(1/3B)^{-5}}}{2\vphantom{(1/3B)^{-6}}}\frac{(1/3B)^{-5}}{(1/3B)^{-6}} = {\vphantom{(1/3B)^{-5}}3B\over \vphantom{(1/3B)^{-5}}2}$, que es estrictamente mayor en el valor que el determinado $B$.

3. Considerar la restricción de $f$ a la semiparabola $P=\{(y^2, y), y>0\}$. $f$ se ve fácilmente que el valor constante $\frac12$ todas partes en $P$, que incluye los puntos arbitrariamente cerca del origen. Pero $f(0,0) = 0$, lo $f$ no es continua en a $(0,0)$.

4. $f$ $g$ , siendo las funciones racionales con denominador distinto de cero, son continuas en todas partes, excepto en el origen, por lo que sus restricciones a las líneas que no pasan por el origen debe ser continua. Necesitamos, por tanto, sólo tenga en cuenta las líneas a través del origen.

   Cada línea que pasa por el origen es el $y$-eje, con $x=0$, o ha $y=mx$ algunos $m$. Queremos mostrar que cada una de estas restricciones toma valores cercanos a 0 en la vecindad del origen, de acuerdo con $f(0,0) = g(0,0) = 0$.

   La restricción de $f$ $y$- eje es la función constante $f(0,y) = 0/y^6 = 0$ en todas partes excepto en el origen, lo cual está de acuerdo con $f(0,0)=0$, lo $f$ es continua en esta línea; $g$ es similar cero en todas partes en el $y$-eje.

   Para otras líneas de $y=mx$, obtenemos $f(x,mx) = \frac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4} = \frac{m^2x}{1+m^4x^2}$, y es fácil ver que $\lim_{x\to0} f(x,mx) = 0$, debido a que el numerador tiende a cero y el denominador a 1. $g(x,mx)$ es similar: $\lim_{x\to0}g(x,mx) = \lim_{x\to0}\frac{m^2x^3}{x^2+m^6y^6}= \lim_{x\to0}\frac{m^2x}{1+m^6y^4} = 0$.

Recuerdo que tuve que lidiar con los artículos 1 y 4 de forma rápida, pero luego sufrió más de la sección 3 horas antes de que se me ocurrió la idea de buscar en la parábola $P$. Después de esto, la sección 2 fue fácil, porque la idea es básicamente la misma: buscar en la restricción de $g$ para el conjunto de $\{(y^3,y), y\in{\bf R}\}$.

Answer 2

(3), es posible que observe que $(x,y) \ne (0,0)$, $f(x,y) = xt/(x^2 + t^2)$ donde $t = y^2$, y para cualquier determinado $2R^2 = x^2 + t^2$ pueden maximizar $f(x,y)$ % tomando $x=t=R$, que $f(R,\sqrt{R}) = R^2/(R^2 + R^2) = 1/2$.