¿Existen complejo algebraica $α,β$ tal que $α^β=π$ o $α^β=e$?

Question

¿Dadas las operaciones algebraicas y exponentiation complejo $(a+bi)^{c+di}$ y logaritmo, es posible derivar $\pi$ y $e$?

Si uno es derivable entonces así debe ser el otro, como $e^\pi = (-1)^{-i}$. Sin embargo no creo que ambos son. Me interesaría ser probado mal sin embargo.

La elaboración de las reglas: no hay trigonometría, solución debe ser expresable mediante un número finito de términos y $α$ y $β$ son números complejos, algebraicos.

Answer 1

Si permitimos que los logaritmos naturales, a continuación,$\pi=-i\cdot\ln(-1)$. Si no, y/o si restringimos el dominio algebraicas reales $(\mathbb{A}\cap\mathbb{R})$, entonces creo que la cuestión sigue abierta/indeciso. Sabemos, a partir de la Gelfond-Schneider teorema, que $a^b$ es trascendental, para un, b $\in\mathbb{A}$, con un $\neq0,1$, y b $\not\in\mathbb{Q}$. Pero desde algebraics son contables, mientras que los trascendentales no son, de ello se desprende que casi todos los $\mathbb{T}$ números son no de la forma $a^b$, con un, b $\in\mathbb{A}$, por lo que no sería nada sorprendente si alguien se para en última instancia, demostrar que π y el correo no pudo ser escrito de esta manera. Si tan notable expresiones para e o π hubiera sido descubierto por ahora, nos gustaría sin duda han oído hablar de ellos; y si una prueba de su imposibilidad ya había sido establecido, lo que hubiera sido tan famoso y bien conocido de un teorema como el de Gelfond y Schneider, que he mencionado anterior. Por eso dije que la cuestión sigue abierta. Espero que esta respuesta ayuda a poner las cosas un poco más en perspectiva.