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Formulación débil del método de los elementos finitos

Tengo una pregunta sobre la formulación débil de una EDP en el análisis de elementos finitos. Supongamos que tenemos la siguiente EDP bidimensional:

$$ \Delta \cdot u(x,y) = q(x,y) $$ donde $q$ se da, $u$ es desconocido, y $\Delta$ es el operador laplaciano $\Delta = \left(\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}, \dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\right)$ . El dominio es un conjunto abierto $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ . La condición de contorno es que $u = 0$ en $\partial \Omega$ .

La formulación débil es algo así como

\begin{equation} \int_\Omega \Delta u(x,y) \cdot v(x,y) d\mathbf{x} = \int_\Omega q(x,y) \cdot v(x,y) d\mathbf{x}\end{equation} por cada $v$ en $H^1_0(0,1)$ (¿o quizás un espacio de diferencia?) Sin embargo, vamos a reducir $H^1_0(0,1)$ a considerar sólo un subespacio de dimensión finita (en este caso, supongamos que todas las funciones base son afines).

Aquí viene mi pregunta. Parece que siempre convertimos el lado izquierdo en

$$-\int_\Omega \nabla u(x,y) \cdot \nabla v(x,y) d\mathbf{x}$$

utilizando la Identidad de Green, básicamente la integración por partes. Pero, ¿por qué tenemos que cambiarlo? ¿Por qué no podemos resolver el sistema como se planteó originalmente?

Veo que hay algo raro, ya que en el sistema original $\Delta u \equiv 0$ si asumimos $u$ es lineal a trozos. ¿Pero no deberían ser ambas formas las mismas? ... ¿Qué está pasando aquí?

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verve Puntos 215

Es casi seguro que pueda formalmente cree la equivalencia de las dos formulaciones si ha visto la demostración de la identidad de Green, ¿verdad? Sin embargo, al "equilibrar las derivadas" de la solución $u$ y la función de prueba $v$ como has hecho (en el principio $u$ tiene dos derivadas y $v$ cero, y en la formulación débil ambas tienen una derivada y, por tanto, están equilibradas), en realidad se acaba exigiendo menos suavidad a la solución $u$ .

Esto implica que las soluciones del problema débil no son, en general, equivalentes a las soluciones del problema fuerte . La solución débil es equivalente a la solución fuerte sólo si $q \in L^2(\Omega)$ y la frontera del dominio satisface algún criterio de suavidad. Véase, por ejemplo, el maravilloso libro de Lawrence Evans, Ecuaciones diferenciales parciales para obtener más información sobre este asunto.

Pero, ¿por qué tenemos que cambiarlo? ¿Por qué no podemos resolver el sistema tal y como se planteó originalmente?

Esto es algo de lo que te darás cuenta cuando implementes el solucionador de elementos finitos. Es mucho más conveniente tener una sola derivada en la formulación débil que dos derivadas, ya que entonces el elemento finito sólo tiene que ser $H^1$ -conforme. (Intuitivamente, la segunda derivada de la función lineal a trozos es cero tal y como has mencionado y, por tanto, la matriz de rigidez sería cero). Podrías resolver el problema directamente con $H^2$ -pero son mucho más difíciles de construir.

Además, si la formulación débil es simétrica, se acaba teniendo una matriz de rigidez simétrica que es más rápida de resolver.

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