Tengo una pregunta sobre la formulación débil de una EDP en el análisis de elementos finitos. Supongamos que tenemos la siguiente EDP bidimensional:
$$ \Delta \cdot u(x,y) = q(x,y) $$ donde $q$ se da, $u$ es desconocido, y $\Delta$ es el operador laplaciano $\Delta = \left(\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}, \dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\right)$ . El dominio es un conjunto abierto $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ . La condición de contorno es que $u = 0$ en $\partial \Omega$ .
La formulación débil es algo así como
\begin{equation} \int_\Omega \Delta u(x,y) \cdot v(x,y) d\mathbf{x} = \int_\Omega q(x,y) \cdot v(x,y) d\mathbf{x}\end{equation} por cada $v$ en $H^1_0(0,1)$ (¿o quizás un espacio de diferencia?) Sin embargo, vamos a reducir $H^1_0(0,1)$ a considerar sólo un subespacio de dimensión finita (en este caso, supongamos que todas las funciones base son afines).
Aquí viene mi pregunta. Parece que siempre convertimos el lado izquierdo en
$$-\int_\Omega \nabla u(x,y) \cdot \nabla v(x,y) d\mathbf{x}$$
utilizando la Identidad de Green, básicamente la integración por partes. Pero, ¿por qué tenemos que cambiarlo? ¿Por qué no podemos resolver el sistema como se planteó originalmente?
Veo que hay algo raro, ya que en el sistema original $\Delta u \equiv 0$ si asumimos $u$ es lineal a trozos. ¿Pero no deberían ser ambas formas las mismas? ... ¿Qué está pasando aquí?