¿Prevención de la "prueba por tarea"?

Question

Estoy haciendo problema 3d en el Prólogo de Spivak:

Demostrar $(a+b)^n = a^n + {n\choose1}a^{n-1}b + {n\choose2}a^{n-2}b^2 + ... + {n\choose n-1}ab^{n-1} + b^n$

Me siento como si mi prueba podría pasar como aceptable en un número de situaciones. Estoy usando la inducción:

Caso Base 0. $(a+b)^0$ = $1$ lo cual es cierto.

Ahora supongo que tiene de arbitrario $k$ el enunciado será verdadero si no tiene por $k+1$. Aquí es donde tengo problemas porque me siento como que estoy probando porque la tarea se dice que es verdadera:

$$(a+b)^{n+1} = (a+b)^{n}(a+b)$$ $$(a^n + {n\choose1}a^{n-1}b + {n\choose2}a^{n-2}b^2 + ... + {n\choose n-1}ab^{n-1} + b^n)\times (a+b)$$ (El siguiente paso sólo estoy suponiendo que la afirmación es verdadera porque se dijo en el problema). $$a^{n+1} + {n+1\choose1}a^{n}b + {n+1\choose2}a^{n-1}b^2 + ... + {n+1\choose n}ab^{n} + b^{n+1}$$

Esto es lo que queremos por lo tanto la afirmación es verdadera.

Aunque me siento como en función de quién puedo hablar para que esto podría ser una buena prueba suficiente. Hay otra forma de representar la serie que demuestra claramente el paso estoy "handwaving" es cierto? (O por lo menos tengo una sugerencia?)

Answer 1

Te faltan pasos. La última expresión es su meta. Necesita para la primera distribución $(a+b)$ en la expresión antes de él, recoger términos apropiados y luego usar una identidad para llegar a la última expresión.

(Sugerencia: usar ${n \choose k} + {n \choose k-1} = {n+1 \choose k}$. Asegúrese de que probar esto o dar una referencia a él en su libro de texto.)

Answer 2

No está del todo claro, pero creo que usted acaba de anotar el último muestra la ecuación (el uno, empezando con $a^{n+1}$) en lugar de la prueba. Usted necesita para explicar sobre la base de los supuestos anteriores, ¿por qué esta ecuación es verdadera. Aquí es una posibilidad: la de multiplicar para obtener $$\eqalign{\left(a^n + {n\quieras1}^{n-1}b\right.&\a la izquierda.{} + {n\choose2}^{n-2}b^2 + \cdots + {n\elegir n-1}ab^{n-1} + b^n\right)(a+b)\cr y=a^{n+1}+\cdots+\left[{n\elegir k}+{n\elegir k-1}\right)^{n+1-k}b^k+\cdots+b^{n+1}\cr}$$ y, a continuación, explicar por qué el término entre corchetes es igual a $${n+1\choose k}\ .$$ Buena suerte!

Answer 3

Existe un problema básico de cómo hacer la inducción, que es lo que la definición de $n \choose k$ es utilizado.

Es casi una tautología de que la expansión de $(a+b)^n$ está formado por las mismas reglas que el triángulo de Pascal. Si la definición de " $n \choose k$ es tomar el número en su ubicación en el triángulo, la única cosa a probar es que el triángulo de Pascal es bien definido, que para la mayoría de los propósitos es tan obvio como para "volar bajo el radar".

Si $n \choose k$ se define mediante factoriales, todo el trabajo es demostrar que esto coincide con triángulo de Pascal. A continuación, aplique el párrafo anterior.

Si $n \choose k$ se define como el número de $k$-subconjuntos de un $n$ elemento de conjunto, no hay necesidad de una explícita de la inducción, ya que existe una natural una correspondencia uno a uno entre los términos en la expansión de $(a+b)^n$ y los subconjuntos. La correspondencia es fácil de describir y "obviamente, funciona" dentro del discurso de los convenios de humanos, comunicación matemática y la prueba. En una prueba formal del sistema en un equipo que se necesite un acto hostil de la inducción.