ecuación pde no lineal

Question

Quiero resolver el problema: encontrar alguna solución particular no trivial de una EDP no lineal. ¿Existe algún método para ello? Entiendo que no hay ningún método general para encontrar la solución general, pero. Una de las ecuaciones es $$u_{t}+u^2 u_{x}-u_{xxx}=0$$

Answer 1

$$u_{t}+u^2 u_y-u_{yyy}=0$$ Esta EDP puede reescribirse como una EDP (modificada) Ecuación de Korteweg-de Vries después de las sustituciones $\displaystyle u(t,y)=\sqrt{6}\,i\,w(t,x)\;$ y $\;y=-x\,$ que dan : $$w_t+w_{xxx}+6w^2w_x=0$$ con diferentes tipos de soluciones proporcionadas en el enlace EqWorld.

EqWorld de Polyanin ¡que debería recomendarse para cualquier ODE o PDE difícil!

Answer 2

Siempre puedes buscar soluciones de onda viajera. Configurando $u(x,t)=v(x-ct)$ (donde $c$ es un parámetro constante arbitrario) encontramos que $v(\xi)$ satisface un ordinario ecuación diferencial: $$v'''=(v^2-c)v'.\tag{1}$$ Esto se puede integrar en cuadraturas:

• En primer lugar, obviamente tenemos $$v''=\frac13v^3-cv+A\tag{2}$$

• Multiplicando (2) por $2v'$ nos integramos una vez más: $$(v')^2=\frac{1}{6}v^4-cv^2+2Av+B\tag{3}$$

• Finalmente, (3) es separable: $$\int\frac{dv}{\sqrt{\frac{1}{6}v^4-cv^2+2Av+B}}=\pm\xi+C.\tag{4}$$

Aquí $A$ , $B$ , $C$ son tres constantes de integración arbitrarias. La integral de la izquierda puede calcularse explícitamente en términos de funciones elípticas. Se simplifica a funciones trigonométricas si establecemos $A=B=0$ : esto es lo que se llama solución de un solito de mKdV. Para los casos de $A$ , $B$ (4) es el ejemplo más sencillo de de brecha finita soluciones.

Tal vez valga la pena mencionar que tales soluciones de onda viajera existirán para (más o menos) cualquier EDP evolutiva que no contenga $x$ , $t$ explícitamente. Ahora bien, como señala Raymond Manzoni su PDE es especial: es un integrable ecuación que tiene muchas características especiales como el número infinito de cantidades conservadas, un problema lineal asociado, etc. En particular, esto se manifiesta en la posibilidad de construir multisolitón soluciones.

En caso de que quiera aprender más sobre cosas integrables, le recomiendo encarecidamente el libro Solitones: Ecuaciones diferenciales, simetrías y álgebras de dimensión infinita por M. Jimbo, T. Miwa y E. Date. Con un mínimo esfuerzo, se puede encontrar en línea.