Grupo de Galois de $X^4 + 2X^2+4$

Question

Encuentre el grupo de Galois de $f(X) = X^4 + 2X^2+4$ en $\mathbb{Q}$ .

Dejemos que $L$ sea el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q}$ . Encontrando las raíces de este polinomio, obtuve $$X^2 = \frac{-2\pm \sqrt{4-16}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$$ por lo que las raíces son $\alpha_1 = \sqrt{-1+\sqrt{3}i}, \alpha_2 =\sqrt{-1-\sqrt{3}}i, \alpha_3 = -\sqrt{-1+\sqrt{3}i}$ y $\alpha_4 -\sqrt{-1-\sqrt{3}}i$ . Ahora $L = \mathbb{Q}(\alpha_1, \alpha_2)$ y como $$\alpha_1 \alpha_2 = \sqrt{(-1 + \sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)} = \sqrt{1+3} = 2$$ vemos que $L = \mathbb{Q}(\alpha_1) = \mathbb{Q}(\alpha_2)$ . No es difícil ver que $[\mathbb{Q}(\alpha_1) : \mathbb{Q}] = 4$ por lo que el grupo de Galois de $L/\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Q}$ es es $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Mi opinión es que este grupo de Galois es cíclico, ya que creo que $\mathbb{Q}(\sqrt{3}i)$ (una extensión ciclotómica por una raíz cúbica de la unidad) es el único subcampo intermedio de $L/\mathbb{Q}$ . ¿Cómo puedo estar seguro?

Answer 1

También puedes escribir las soluciones de la siguiente manera: $$\frac{1}{2}\left(\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{6}i\right)$$ y luego encontrar que $L=\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}i]$ . El grupo de Galois es entonces $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ .

Un generador corresponde a la conjugación $z\mapsto \bar{z}$ y el segundo es $\alpha\mapsto -\alpha$ , donde $\alpha$ es una de sus raíces; esto es un automorfismo ya que $L=\mathbb{Q}[\alpha]$ y porque $-\alpha$ también es una raíz.