¿Cómo mostrar geométricamente que hay $4$ subgrupos $S_3$ en $S_4$?

Question

Como se muestra en esta nota, el grupo de simetría $S_4$ de un cubo tiene 4 subgrupos que son isomorfos a $S_3$ para un triángulo equilátero. ¿Cómo ilustrar geométricamente este hecho? Específicamente, ¿dónde se encuentran los triángulos equiláteros incrustados en el cubo?

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Publicación relacionada: ¿Cómo mostrar geométricamente que hay $3$ subgrupos de $D_4$ en $S_4$?

Answer 1

También es posible ver que $S_4$ es el grupo de simetría de un tetraedro regular (es decir, un 3-simplejo). Entonces, las 4 copias de $S_3$ son simplemente las simetrías de cada una de las caras del tetraedro (fijando el vértice opuesto del tetraedro).

También se puede explicar esto en términos del cubo considerando las rotaciones alrededor de una diagonal principal por múltiplos de $\frac{2\pi}{3}$. El "triángulo" aquí es el triple de tres vecinos de un vértice dado (el que está en la diagonal principal).

Answer 2

Esto es funcionalmente equivalente a lo que sugiere Mark Bennet en un comentario pero sin hacer referencia a tetraedros (o diagonales del cubo, lo cual probablemente sea un error...).

Selecciona vértices antipodales del cubo, y coloca puntos en los bordes adyacentes, de la siguiente manera:

Etiqueta los vértices de un triángulo como $1, 2, 3$, y etiqueta los vértices del triángulo opuesto de modo que los puntos en los bordes paralelos reciban la misma etiqueta (como en la imagen). Probablemente debamos identificar los puntos correspondientes (aquellos conectados por una línea que pasa por el centro del cubo) en estos triángulos, y pensar en este par como un solo triángulo. (Probablemente sea mejor jugar este juego en una variedad de otras formas: un cubo truncado, u octaedro, u cuboctaedro, ¡o...)

Ahora, las rotaciones alrededor del eje que conecta estos vértices opuestos del cubo permutan cíclicamente las etiquetas, logrando todas las permutaciones en $\langle (1\ 2\ 3) \rangle$:

Para las permutaciones restantes en $S_3$, necesitamos permutaciones de orden $2$. Estas deben ser rotaciones alrededor de ejes que conectan los puntos medios de los bordes opuestos. Aquí está la rotación que permuta $2$ y $3:

Es un poco difícil de ver, pero una rotación de $180^\circ$ como esta intercambia los dos bordes paralelos a los bordes rojos, y ambos contienen el $1$, por lo que el $1$ permanece fijo. Aquí se intercambian los vértices más a la izquierda de cada triángulo (igual con los más a la derecha), por lo que los vértices $2$ y $3$ se intercambian (si pensamos en nuestro par de triángulos como un solo triángulo), y obtenemos la permutación $(2\ 3)$.

Estas son todas las parejas de bordes cuyas líneas que conectan los puntos medios son ejes de rotación que dan ciclos de $2$ (nota que ninguno de estos bordes contiene vértices de nuestros triángulos):

Así que esta es una copia de $S_3$, como el grupo de simetría de "un" triángulo, en el grupo de simetrías de rotación del cubo, $S_4$.

Las otras copias de $S_3$ se obtienen de manera similar, ya que hay cuatro pares de triángulos antipodales. Pero para que todo sea consistente, debes tener cuidado con las etiquetas de los vértices de los triángulos:

Etiqueta cada par de triángulos con una etiqueta de $\{1,2,3,4\}$. Para etiquetar los vértices de los triángulos, usa la etiqueta del triángulo con un vértice en el mismo borde (en la imagen anterior: nuestros triángulos negros mismos deben etiquetarse como $4$, porque sus etiquetas son de $\{1,2,3\}$. Los triángulos rojos mismos están etiquetados como $1$, por lo que todos los vértices en el mismo borde que un vértice de un triángulo rojo se etiquetan como $1$.

De esta manera, todas las permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ que fijan un punto (aquellas que pertenecen a alguna copia de $S_3$ en $S_4$) surgen como simetrías del cubo que fijan algún par de triángulos.