Evaluar la integral: $\int_{0}^{\infty} \frac{|2-2\cos(x)-x\sin(x)|}{x^4}~dx$

Question

Estoy interesado en evaluar la siguiente integral: $$ \int_{0}^{\infty} \frac{|2-2\cos(x)-x\sin(x) |} {x ^ 4} ~ dx $$ usando Matlab, numéricamente parece que la integral es convergente, pero no estoy seguro acerca de él. ¿Cómo podemos probar que la integral es convergente o no?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

La integral converge. Hay problemas potenciales en $0$ y "en" el infinito. Así que nos dividimos la integral en (i) la parte de$0$$1$, y (ii) la parte de$1$$\infty$.

(i) Buscar en el poder de expansión de la serie de $2-2\cos x-x\sin x$. Los primeros son los términos de $2-2\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\right) -x\left(x-\frac{x^3}{31}\right)$. No hay cancelación, y el primer no-cero término es el $x^4$ plazo. Así que nuestra función se comporta bien como $x$ enfoques $0$ de la derecha: enfoques $\frac{1}{12}$. Si definimos su integrando a ser $\frac{1}{12}$, el resultado de la función es continua en $[0,1]$, y por lo tanto integrable.

(ii) Para las grandes $x$, el integrando es $\lt \frac{K}{x^3}$ para algunas constantes $K$, y sabemos que $\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}$ converge.

Answer 2

que $I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{2-2\cos{x}-x\sin{x}}{x^4}dx$

entonces usando integración por partes tenemos $$I=-\dfrac{1}{3}\dfrac{2-2\cos{x}-x\sin{x}}{x^3}|_{0}^{\infty}+\dfrac{1}{3}\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x^3}dx$ $

entonces $$I=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x^3}dx$ $ y la aplicación de la integración por partes produce $$I=-\dfrac{1}{6}\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x^2}+\dfrac{1}{6}\int_{0}^{\infty}\dfrac{x\sin{x}}{x^2}dx=\dfrac{\pi}{12}$ $