Que $F = F(A)$ ser un grupo libre, y que $f: A \to G$ ser una-función del set $A$ % Grupo abeliano $G$. ¿Cuál es la forma más fácil de ver que $f$ induce un homomorfismo único $F/[F, F] \to G$, $[F, F]$ ¿Dónde está el subgrupo conmutador de $F$? ¿Podemos concluir que el $F/[F, F] \cong F^{ab}(A)$?
Respuesta
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Esto es cierto de cualquier mapa a un grupo abelian. El comentario que acaba de publicar no es correcto, porque el kernel no tiene que ser precisamente el grupo $[F,F]$, pero desde $f(a)f(b)f(a^{-1})f(b^{-1})$ igual $1$ $[F,F]$ debe ser un subgrupo del kernel. Así que, por el segundo teorema de isomorfismo, obtenemos $F/Ker(f) = (F/[F,F])/(Ker(f)/[F,F])$. Esto es cómo usted sabe que induce un homomorphism de$F/[F,F]$$G$. Desde el grupo $F/[F,F]$ es el mayor grupo abelian en este sentido, en el que cada mapa a un grupo abelian factores a través de ella, y desde $F^{ab}(A) = \mathbb{Z}^{|A|}$ es abelian y hay una natural surjective mapa, usted sabe que $F/[F,F]$ surjects en $F^{ab}(A)$. Para probar que esto es un isomorfismo, usted necesita tomar el mapa de $(x) \in F^{ab}(A) \rightarrow [x]$ donde $[x]$ es el isomorfismo de la clase de $(x) \in F$.
