La discusión acerca de $\int_a^b P^2(x)f(x)dx=0$

Question

$f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ y $\int_a^b f(x)dx>0$. Si cumple con el polinomio $P(x)$ $\int_a^b P^2(x)f(x)dx=0$. Prueba $P(x)=0$.

Answer 1

Necesita más condiciones en $f, P$.

Elegir $f(x) = 1$ cuando $x \in [0,\sqrt[3]{\frac{2}{3}}]$ y $f(x)=-2$ cuando $x \in (\sqrt[3]{\frac{2}{3}}, 1]$. Que $P(x) = x$. Entonces tengo $\int_0^1 f(x) dx > 0$ y $ \int_0^1 P^2(x) f(x) dx = 0$, pero claramente $P \neq 0$.

Answer 2

Si, además, $f$ es no negativo, aquí es una sugerencia.

Sugerencia: Polinomios que no son idénticamente $0$ puede desaparecer sólo en un conjunto finito. Considerar el abrir de los conjuntos de $$ U_k=\left\{x\in(a,b):|P(x)|>\frac1k\right\}\etiqueta{1} $$ y vamos a $$ F_k=\int_{U_k}f(x)\,\mathrm{d}x\etiqueta{2} $$ Mostrar que $$ \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F_1+\sum_{k=2}^\infty(F_{k}-F_{k-1})\etiqueta{3} $$ y $$ \int_a^bP^2(x)f(x)\,\mathrm{d}x\ge F_1+\sum_{k=2}^\infty(F_{k}-F_{k-1})\frac{1}{k^2}\etiqueta{4} $$ ¿Qué conclusiones se pueden sacar de $(3)$$(4)$?