Sólo tenemos que mostrar que para cada subconjunto $\{i_1,i_2,\cdots,i_m\}\subset\{1,2,\cdots,n\}$ podemos construir un espacio de probabilidad $\Omega$ tal que todos los independientes que satisface las condiciones de excepción
$$\mathrm{Pr}[A_{i_1}\cap A_{i_2}\cdots\cap A_{i_m}]=\mathrm{Pr}[A_{i_1}]\times\mathrm{Pr}[A_{i_2}]\cdots\times\mathrm{Pr}[A_{i_m}].\qquad (1)$$
Denotar $I=[0,1], A\subset I$, tenga en cuenta que la medida de lebesgue en $I$ es un natural de la probabilidad de medir. Dejamos que la probabilidad de espacio para ser $I_1\times I_2\cdots\times I_n$ donde $I_i$s $n$ copias de $I$. Definir los eventos $A_i$s a de subconjuntos de a $I_1\times I_2\cdots A_i'\times\cdots I_n$ donde $A_i'$ es la imagen subespacio de $A$$I_i$.
Uno puede comprobar fácilmente que $A_i$s son todos independientes. Ahora podemos modificar algunas espacio de $A_j$ a realizar condición de $(1)$ no válido pero no puede cambiar otras relaciones. Sin perdida de generalidad podemos suponer $\{i_1,\cdots,i_m\}=\{1,2,\cdots,m\}$. Nuestro propósito es disminuir el volumen de $A_1\cap A_2\cdots\cap A_m$, destacamos un pequeño espacio de $S\subset A_1'\times A_2'\times A_m'\times I_{m+1}^c\cdots\times I_n^c$ $S'\subset A_1'\times A_2'\cdots\times A_{m-1}'\times I_m^c\times \cdots\times I_n^c$ tal que $V(S)=V(S')$, vamos a $\hat{A}_m=(A_m-S)\cup S'$.
Uno puede comprueba que $A_1,\cdots,\hat{A}_m,\cdots,A_n$ ar como el deseo.
