Hereda topología lógica piedra ' espacios s.

Question

Yo estoy pidiendo aquí si la siguiente construcción es de ningún interés. No puedo encontrar ninguna referencia de ese tipo de cosas, así que el tema es completamente trivial, simplemente no tengo la terminología correcta para buscar más información sobre ella.

Tomar un primer orden de $\mathcal L$-teoría de la $T$ (es decir coherente). Recordemos que el $n$-th Piedra del espacio es el espacio topológico $S_n(T)$ de todos complete $n$-tipos de cualquiera de los modelos de $T$ $(\{p \mid \varphi(\underline x) \in p\})_{\varphi \in \mathcal L-\text{formula}}$ como base de bloques abiertos.

Entonces yo comienzo a la construcción de la que hablé : tomar un modelo de $\mathcal M \models T$, tenemos un natural de la aplicación $$f : M^n \to S_n(T),\, \underline m \mapsto \mathrm{typ}^{\mathcal M}(\underline m)$$ donde $\mathrm{typ}^{\mathcal M}(\underline m) = \{ \varphi(\underline x) \mid \mathcal M \models \varphi(\underline m)\}$ es el tipo del elemento $\underline m \in M^n$. Esta aplicación $f$ proporciona una topología para $M^n$, la topología inicial con respecto a $f$ (que es el más pequeño de la topología en $M^n$, lo $f$ continuo).

Puede esta topología de los modelos que se utiliza para cualquier cosa ? Por ejemplo, parece que para $n=1$, la topología en $M$ es tal que el grupo de modelo-teóricas automorfismos de a $\mathcal M$ es exactamente el automorfismos del grupo del objeto $M \stackrel f \to S_n(T)$ en la categoría de $\mathbf{Top} / S_n(T)$.

Answer 1

Esta es una buena observación. También me di cuenta de esto en algún momento, y tuve la esperanza de que algo interesante que habría de venir... Pero yo todavía no sé de ningún razones para considerar esta topología sobre un modelo que no puede ser reformulado en términos de un topológico argumento sobre la Piedra del espacio.

Una razón para esto es que la Piedra espacio es una "versión mejorada" de la topológica del espacio asociado a un modelo - es compacto (todo coherente tipos corresponden a un punto) y Hausdorff (cualquiera de los dos elementos de satisfacer el mismo tipo de reducirlos a un solo punto). No he pensado en esto cuidadosamente, pero estoy bastante seguro de que $S_n$ es la Piedra Čech compactification de la inducida por la topología en $M^n$.

Una posible conexión con el exterior palabra es que para un algebraicamente cerrado campo de $K$, uno puede ver a la inducida por la topología en $K^n$ como una alternativa a la topología de Zariski en este contexto se le suele llamar la "lógica de la topología". De hecho, para $K\models ACF$, $S_n(K)$ es en bijection con $Spec(K[x_1,\dots,x_n])$ como un esquema! Pero no son homeomórficos - el esquema teórico de la toplogy en la Especificación es la Zariski toplogy, no de la lógica de la topología.

La diferencia es que en la topología de Zariski, un conjunto cerrado es determinado por el polinomio de ecuaciones, no inecuaciones, y en la lógica de la topología no se distingue entre los dos - ambas fórmulas. Uno no puede generalizar la topología de Zariski a un modelo teórico de la configuración, porque no puede ser sin una clara forma de especificar a qué fórmulas son "positivos" y "negativos". Es interesante pensar acerca de ejemplos de esto.

Un último punto - su observación acerca de automorfismos es incorrecta. Tomemos, por ejemplo, $M$ a ser una estructura en el lenguaje de $\mathcal{L} = \{E\}$ donde $E$ es una relación de equivalencia con dos infinito clases. Entonces no es sólo una $1$-tipo, por lo $S_1$ es sólo un punto, y $M$ tiene la topología trivial $\{\emptyset, M\}$. Pero no todos los bijection $M\rightarrow M$ es un automorphism.