Dada una matriz $A$ tal que $||A||<1$, demostrar que $I-A$ es invertible

Question

Nota: Esta es una pregunta visto en clase, mientras discuten sobre métricas de los espacios y las normas, así que mi recuerdo puede no ser 100% exacto.

Vi una prueba en clase, pero yo quería saber si había una manera diferente.

Supongamos que $I-A$ es singular. Entonces la ecuación de $(I-A)v=0$ tiene más que sólo la solución trivial, por lo tanto, existe un vector $v\ne0$ s.t. $Av = Iv$, contradiciendo el hecho de que $||A||<1$.

¿La norma tiene que ser una norma para que esto sea correcto?

Sería esto una prueba de trabajo? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sugerencia: Mostrar que $$B = I + A + A^2 + A^3 + \cdots$ $ está bien definida para $||A||<1$ y luego calcular $(I-A)B$ y $B(I-A)$.

Answer 2

Prueba de es correcta pero sí, sólo funciona con las normas del operador.

Tenga en cuenta que la prueba mencionada en respuesta de nayrb requiere sub-multiplicativity ($\|AB\|\leq\|A\|\,\|B\|$), que no tiene para todas las normas. Sin embargo sostener para las normas del operador.