Débil convergencia de la medida de probabilidad

Question

Estoy trabajando en un problema. Muestra que para cada medida de probabilidad $\mu$ existe una medida de probabilidad $\mu_n$ con un apoyo finito tal que $\mu_n$ converge débilmente en $\mu$ . Estoy pensando en la medida empírica, que tiene la función de distribución $F_n(t)=1/n \sum 1(X_i \le t)$ . Así que desde el LLN, tenemos $F_n(t) \rightarrow F(t)$ para cada uno de los fijos $t$ a.s. Pero la convergencia aquí es casi segura. ¿Así que esto todavía significa $F_n$ converge en $F$ débilmente?

Answer 1

Lo siento si esto no es exactamente una respuesta a su pregunta original. Pero me pica un poco cuando veo la forma en que algunos los probabilistas tratan la débil convergencia de las medidas...

El Teorema de la representación de Riesz afirma que cuando $X$ es localmente compacto Hausdorff, tenemos una isometría entre el doble de $C_0(X)$ y el espacio vectorial normalizado de finito firmado medidas regulares sobre los conjuntos de Borel de $X$ . La norma de una medida es su variación total. En este contexto, la débil convergencia de las medidas es simplemente la convergencia débil-* en $C_0(X)$ .

El Teorema de Banach-Alaoglu afirma que la bola de la unidad cerrada es compacto en la topología débil. Es muy fácil mostrar que el conjunto de medidas (positivas) tales que $0 \leq \mu (X) \leq 1$ es un subconjunto cerrado (en la topología débil-*) de la bola de la unidad, y por lo tanto también es compacta. Representemos el conjunto de esas medidas por $\mathcal {M}$ . Fíjese que si $X$ no es compacto, entonces el conjunto de medidas de probabilidad (en los conjuntos de Borel de $X$ ) no es compacto en la topología débil. De hecho, si tomamos una secuencia $x_n \in X$ "Convertirse en $\infty$ ", entonces $$\frac {1}{n} \sum_ {j=1}^n \delta_ {x_n} \rightarrow 0.$$

Desde $\mathcal {M}$ es compacto y convexo, el Teorema de Krein-Milman dice que $\mathcal {M}$ es el cierre débil de la combinación convexa de puntos extremos de $\mathcal {M}$ . Los puntos extremos son los puntos que no son triviales combinación convexa de otros puntos de $\mathcal {M}$ . Fíjese que estas son las medidas $0$ y el Dirac deltas $\delta_x$ . Por lo tanto, las combinaciones convexas de esas son las medidas $\mu_n$ con un apoyo finito. Ahora, sólo queda mostrar que podemos usar $\frac {1}{ \mu_n (X)} \mu_n$ en lugar de $\mu_n$ para concluir que cualquier medida de probabilidad es la más débil-* límite de medidas de probabilidad con apoyo finito.

Me doy cuenta de que esto es bastante complicado. Pero la IMHO, conceptos tomados del análisis funcional debe considerarse como tal. Por supuesto, esto es una cuestión de gustos, pero la definición usando $F_n(t)$ es demasiado artificial incluso cuando se compara con la definición usando la topología débil-* en $C_0(X)$ .

Answer 2

Ya tienes la idea. Deja que $F_n(t, \omega ):= \frac 1n \sum_ {j=1}^n \chi_ {(- \infty ,t]}(X_k( \omega ))$ donde $X_j$ son variables aleatorias independientes de la ley $\mu$ . Por El teorema de Glivenko-Cantelli también conocido como teorema fundamental de la estadística, sabemos que para casi todos $\omega\in\Omega$ Tenemos $$\sup_ {t \in\mathbb R}|F_n(t, \omega )-F(t)| \to 0.$$

Arregla uno de estos $\omega$ y dejar que $\mu_n$ la medida de probabilidad asociada a la función de distribución acumulativa $F_n(t)=F_n(t, \omega )$ . Desde $F_n(t) \to F(t)$ en todos los puntos de continuidad de $F$ tenemos que $\mu_n\to \mu$ débilmente. Desde $\mu$ se apoya en el conjunto finito $\{X_1( \omega ), \ldots ,X_n( \omega )\}$ hemos terminado.

Nótese que el resultado que usamos no es tal vez el más simple, y que la convergencia puntual no es suficiente para concluir (ya que casi todos los lugares dependen de $t$ ).