Teorema del valor intermedio para $\mathbb{C}$ ?

Question

¿Existe un valor intermedio como teorema para $\mathbb{C}$ ? Lo sé. $\mathbb {C}$ no está ordenada, pero si tenemos una función $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ que es continua, ¿qué podemos concluir al respecto?

Además, si tenemos una función $g:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ continua con $g(x)>0>g(y)$ ¿eso implica una z "entre" ellos satisfaciendo $g(z)=0$ .

Editer : Pido disculpas si la pregunta es vaga y confusa. En realidad quiero preguntar para qué definición de entre, (por ejemplo tal vez la parte del plano que divide los puntos), y con definición relajada sobre la intermedialidad para la primera parte, ¿podemos probar algún resultado de este tipo?

Answer 1

Tenemos algo parecido, es el hecho de que las imágenes continuas de conjuntos conexos son conexas. En cualquier espacio topológico, como $\mathbb{C}$ con métrica euclídea, si $X\subset \mathbb{C}$ está conectado y $f$ continua, entonces $f(X)$ está conectado. Además, si $X$ está conectado por un camino, entonces también lo está $f(X)$ .

Esto es lo que se entiende por "en medio". Si usted tiene camino conectado dominio, entonces si $a,b$ están en el intervalo, entonces existe una curva parametrizada entre $a$ y $b$ . En $\mathbb{C}$ significa que se puede dibujar una curva a partir de $a$ a $b$ con todos los valores a lo largo de la curva también dentro del intervalo. También se da cuenta si su rango es subconjunto de $\mathbb{R}$ entonces su curva sólo resultará en un intervalo porque sólo hay una dimensión para que su curva vaya de $a$ a $b$ es decir, tiene que tomar todos los puntos entre ellos.

El teorema del valor intermedio es un caso especial del teorema de que la imagen continua de los conjuntos conexos por caminos son conexos por caminos. En $\mathbb{R}$ Los conjuntos conexos de caminos no son más que intervalos.

Answer 2

Considere $f(x) = e^{\pi i x }$ .

Sabemos que $f(0) = 1, f(1) = -1$ .

Pero sin ningún valor real $r$ entre 0 y 1 es $f(r) = 0$ o incluso realmente valorado.

Piense en que se trata de un "contraejemplo", y en qué aspecto de la $\mathbb{C}$ usamos. Podría ser útil trazar este gráfico.

Answer 3

Una forma de formular el teorema del valor intermedio es la siguiente:

(1) Sea $f:[-1,1] \to \Bbb{R}$ sea continua. Supongamos que $f(-1)=-1$ y $f(1)=1$ . Entonces hay algunos $a \in [-1, 1]$ con $f(a)=0$ .

Por lo que respecta a $[-1, 1]$ como "bola unitaria" en $\Bbb{R}$ y el conjunto $\{-1, 1\}$ como límite la "esfera unidad", se puede escribir una afirmación análoga para $\Bbb{R}^2 \cong \Bbb{C}$ :

(2) Sea $f: D \to \Bbb{C}$ sea continua, donde $D$ es el disco unitario cerrado en $\Bbb{C}$ . Supongamos que $f(z)=z$ siempre que $|z|=1$ . Entonces hay $a \in D$ con $f(a)=0$ .

Esta afirmación también es cierta. Al igual que el teorema del valor intermedio, es físicamente muy intuitivo si se piensa en él de la manera correcta. Una versión física de (2) podría ser:

(2') Si hay un puntero láser brillando en medio de una tubería, y el extremo de la tubería está cubierto por un globo opaco, no hay manera de estirar el globo para revelar el puntero láser (sin sacarlo de la tubería o romperlo).

Sin embargo, es algo más difícil de demostrar que el teorema del valor intermedio. Es equivalente a la versión bidimensional del Teorema de Brouwer del punto fijo un teorema famoso en topología algebraica/combinatoria (de hecho, todas las pruebas del teorema de Brouwer del punto fijo que conozco utilizan algo como (2) como lema clave).

Answer 4

Un libro " Primeros conceptos de topología " de W.G. Chinn y N.E. Steenrod está dedicado a los teoremas de valor intermedio para la recta y el plano y sus aplicaciones. La exposición es muy intuitiva, detallada e ilustrada. Una contrapartida del teorema del valor intermedio para $\Bbb C$ es el teorema principal de la Parte II [p. 86].

Sea $f:D\to P$ sea un mapeo de un disco en el plano, sea $C$ sea el círculo límite de $D$ y que $y$ sea un punto del plano que no esté en $fC$ . Si el número de bobinado de $f|C$ acerca de $y$ no es cero, entonces $y\in fD$ es decir, hay un punto $x\in D$ tal que $fx=y$ .