Dos de las cuatro raíces complejas están dentro del círculo unitario con centro en el $1$.
Si usted encuentra estas dos pares de conjugar raíces, usted puede trabajar fuera de que
$$
g(z)\aprox(x^2+4.64751368404 x+8.66302952977)(x^2-0.647513684039 x+0.346299177406)
$$
y que las raíces son aproximadamente
$$
\{
-2.32375684201972 \pm 1.80642842895505 i,~
0.32375684201972 \pm 0.491406842291623 yo
\},
$$
la ex pareja de la que se encuentran fuera y el segundo par en el interior del dado círculo.
Sin embargo, necesitaba un método numérico para obtener la anterior y no se ha usado Rouch del teorema; me gusta tu enfoque...voy a considerar cómo proceder...
De hecho, $f(z)=2(4z^3+1)$ tiene raíces en $-\frac1{\sqrt[3]{4}}\,e^{\frac{2\pi ik}{3}}$ $k=0,\pm1$ a lo largo de la circunferencia de radio $2^{-\frac23}$, dos de los cuales están dentro de $|z-1|=1$ desde
$$\left|1+\frac1{\sqrt[3]{4}}\,e^{\pm\frac{2\pi i}{3}}\right|<1.$$
(Para $k=\pm1$, las raíces están en el lado de una unidad de triángulo equilátero derivados radialmente desde el origen, que es lo que en el interior del círculo unitario con centro en el $1$.)
También, en el círculo unidad en cuestión,
si dejamos $z=1+e^{it}$
seguir a @RobertIsrael, entonces
$$
\eqalign{
h(t) y=
\left|
f(z)
\right|^2
=4\cdot
\left|
4\left(1+e^{que}\right)^3+1
\right|^2
=4\cdot
\left|
5+12e^{es}+12e^{2it}+4e^{3it}
\right|^2
\\&
=4\cdot
\left[
\left(5+12\cos{t}+12\cos{2t}+4\cos{3t}\right)^2+4\,
\left( 3\sin{t}+ 3\sin{2}+ \sin{3t}\right)^2
\right]
\\&
=4\cdot
\Big[
(5^2+12^2+12^2+4^2) + 2\cdot5\cdot4\, \left(3\cos{t}+3\cos{2}+\cos{3t}\right)
\Grande.\\&\qquad\Grande.
+2\cdot4^2\cdot3\,\left(3\cos{(2t-t)}+\cos{(3t-t)}+\cos{(3t-2t)}\right)
\Big]
\qquad\text{(combinación de pares de términos)}
\\&
=4\cdot
\left[
329
+ 8\, \left(15\cos{t}+15\cos{2t}+5\cos{3t}\right)
+ 8\, \left(48\cos{t}+12\cos{2}\right)
\right]
\\&
=4\cdot
\left[
329
+ 8\, \left(63\cos{t}+27\cos{2t}+5\cos{3t}\right)
\right]
}
$$
por ampliación de las plazas,
la combinación de pares de términos y el uso de
$\cos(a-b)=$ $\cos a\cos b+$$\sin a\sin b$
con $a,b\in\{t,2t,3t\}$.
La diferenciación y el uso de la doble y triple ángulo de fórmulas
(o $\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials#Examples}{U_1,~U_2}\in\mathbb{Z}[\cos t]$),
$$
\eqalign{
h'(t)&
=-96\,
\left[
21\sin{t}+18\sin{2t}+5\sin{3t}
\right]
\\&=
-96\,\sen t\,
\left[
21
+ 18 \left( 2\cos t \right)
+ 5 \left( 4 \cos^2t - 1 \right)
\right]
\\&=
-96\,\sen t\,
\left[ 20 \cos^2t
+ 36 \cos t
+ 16
\right]
\\&=
-384\,\sen t\,
\left( \cos t + 1 \right)
\left( 5 \cos t + 4 \right)
}
$$
obtenemos los puntos críticos
y encontrar el mínimo global
como lo hizo en su comentario,
mostrando que $|f(z)|\ge\frac65$
en el círculo en cuestión.
![enter image description here]()
Así que ahora usted puede utilizar el teorema de Rouché.
