Caracterización de las transformadas de Radon de funciones logarítmicas cóncavas

Question

F: R d → R _≥0 es log-concave si log(f) es cóncavo (y el dominio de log(f) es convexo).

Teorema: Para todo σ en la esfera S d-1 y r∈ R , g _σ (r) := ∫ _σ.x=r f(x)dS(x) es una función logarítmica-concava de r. (Nota: g, como función de σ y r, es la transformada de Radon de f).

Pregunta: ¿caracteriza esto la log-concavidad? Es decir, si g _σ (r) es logarítmica-cóncava en función de r para todo σ, ¿es f logarítmica-cóncava?

Answer 1

La siguiente respuesta explota un contexto más amplio, donde no negativo funciones de $f$, considerado como densidades de absolutamente continuas medidas de $f(x)dx$, son reemplazados por los no-negativos de las medidas de $\mu$. Porque una concavidad de la función ilimitada de arriba es $\equiv+\infty$, un registro-cóncavo medida $\mu$ es, naturalmente, absolutamente una medida continua con registro-cóncavo de la densidad.

Por lo tanto, la medida de Lebesgue sobre la $2$-dimensiones de la esfera $S^2$ no está de registro-cóncavo ${\mathbb R}^3$. Sin embargo, su Radón transformar en una dirección $\sigma$ es $$g_\sigma=2\pi\chi_{(-1,1)},$$ que es registro-cóncavo para cada $\sigma$.

Answer 2

Si he entendido bien la pregunta, creo que la respuesta es no.

Empecemos por lo siguiente: si f es la función indicadora de la bola unitaria, entonces la función g(r) es estrictamente logarítmica-cóncava cerca de 0 (esta función no depende de theta).

Ahora, dejemos que h sea la función indicadora de la bola de radio r<1. Entonces f-epsilon.h nunca es logarítmica para cualquier epsilon>0, y su transformada de Radon (que de nuevo es independiente de theta) sigue siendo logarítmica si epsilon es lo suficientemente pequeño.

(esto es especialmente fácil de ver en dimensión 2, en cuyo caso las transformadas de Radon tanto de f como de h son polinomios de segundo grado en su soporte)