suma conectada de Toro con el plano proyectivo

Question

Me gustaría entender cómo demostrar que la suma conectada $\mathbb{R}P^2 \# T^2$ del plano proyectivo con un toro es homeomoprhic $\mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2$.

¿Tengo en cuanto a que demuestra que debe ser equivalente a una suma conectada de planos proyectivos, cómo puedo sostengo sin embargo que necesito precisamente tres planos proyectivos?

¡Gracias por tu ayuda!

(P.D. no un ejercicio de tarea, esto es para que mi entender la clasificación de las superficies).

Answer 1

La siguiente imagen le ayudará a entender este problema de forma intuitiva. (Si usted puede entender por qué los $\mathbb{R}\mathrm{P}^2 \# \mathbb{R}\mathrm{P}^2 = K$ donde $K$ es sinónimo de la botella de Klein.)

La figura en la esquina superior derecha es $K \setminus \text{disk} $. Puede tomar algún tiempo para pensar por qué se parece a esto.

Fuente de la imagen: enlace

Answer 2

Calcular la característica de Euler. Esto, combinado con el hecho de que la superficie resultante es no orientable ofrece el conjunto completo de invariantes, lo bastante a solo $\mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2$.