Que $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} $ ser diferenciable con $f'(a) = f'(b)$. Existe un $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(c) - f(a) }{c -a}$.

Question

Alguien me puede ayudar con el siguiente problema?

Deje $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} $ ser diferenciable y supongamos que $f'(a) = f'(b)$. Mostrar que existe una $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(c) - f(a) }{c -a}$.

Mi idea es tener primero el caso de $f'(a) = f'(b) = 0$. En este caso, considere la posibilidad de $$\phi(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}, \quad \forall x \in (a,b],$$ y $\phi(a) = 0$. Es obvio que $\phi$ es continua en a $(a,b]$. Mientras en $a$, la continuidad de $\phi(a)$ se deduce del hecho de $$\lim_{x\to a^{+}} \phi(x) = f'(a) = 0 = \phi(a).$$

Por lo tanto, $\phi$ es continua en a $[a,b]$. Por eso, $\phi$ alcanza su máximo y su mínimo en $[a,b]$. Si uno de ellos es en $(a,b)$, vamos a $c$ ser este punto. Así, desde la $\phi$ es diferenciable en a $(a,b)$, sé que debemos tener $\phi'(c) = 0$. Pero $$\phi'(x) = \frac{f'(x)}{x-a} - \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}.$$ Así $$\phi'(c) = 0 \Rightarrow f'(c) = \frac{f(c) - f(a) }{c -a}.$$

El problema es que no puedo garantizar que un punto de máximo o mínimo debe ser en $(a,b)$.

Tenga en cuenta que, una vez que se resuelva este caso, ( $f'(a) = 0$ ), el caso general se resuelve considerando $g(x) = f(x) - f'(a) x$. Debido a $g'(a) = g'(b) = 0$. Y luego, si no existe un $c\in(a,b)$ con $$ g'(c) = \frac{g(c)-g(a)}{c-a},$$ entonces $$f'(c) - f'(a) = \frac{f(c) - f'(a)c -f(a) + f'(a)a}{c-a} = \frac{f(c) -f(a)}{c-a} - f'(a).$$ Por lo tanto, $$f'(c) = \frac{f(c) - f(a) }{c -a}.$$

Answer 1

Suponga que la única extremo puntos de $\phi$$a$$b$. Sin pérdida de generalidad, suponemos que $\phi(a) \leq \phi(x) \leq \phi(b)$ todos los $x \in [a,b]$. La segunda desigualdad significa que $$ f(x) \leq f(a) + (x-a) \phi(b) $$ para todos los $x \in [a,b]$. Esto produce que, por cualquier $x \in [a,b)$, $$ \frac{f(b)-f(x)}{b-x} \geq \frac{f(b)-f(a)-(x-a)\phi(b)}{b-x} = \frac{f(b)-f(a)}{b}. $$ Dejando $x \to b^{-}$, podemos deducir $f'(b) \geq \phi(b)$. Desde $f'(b)=f'(a)$,$f'(a) \geq \phi(b)$, lo $\phi(a) \geq \phi(b)$. Esto implica que $\phi$ es constante, y este es un caso trivial.

Por lo tanto cualquiera de las $\phi$ es constante, o $\phi$ tiene un interior de punto crítico. En ambos casos, la prueba está completa.

Answer 2

Gracias, chicos, por la ayuda! He resuelto de la siguiente manera:

En primer lugar, tenemos que $\phi'(b)$ existen:

$$\begin{array}{rcl} \frac{\phi(x) - \phi(b)}{x-b} &=& \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a} - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{x-b}\\ &=& \frac{1}{x-a}\left[\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\right] + \frac{1}{x-a}\left[\frac{f(b)-f(a)}{x-b}\right] - \frac{1}{b-a}\left[\frac{f(b)-f(a)}{x-b}\right] \\ &=& \frac{1}{x-a}\left[\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\right] + \left(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{b-a}\right)\left[\frac{f(b)-f(a)}{x-b}\right] \\ &=& \frac{1}{x-a}\left[\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\right] + \left(\frac{b-x}{(x-a)(b-a)}\right)\left[\frac{f(b)-f(a)}{x-b}\right] \\ &=& \frac{1}{x-a}\left[\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\right] - \frac{1}{x-a}\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \\ &\xrightarrow[x \to b^{-}]{} & \frac{f'(b) -\phi(b)}{b-a} = -\frac{\phi(b)}{b-a} \end{array}$$

Donde en la última igualdad puedo usar ese $f'(b) = 0$.

Por lo tanto,

$$\phi'(b) = -\frac{\phi(b)}{b-a}.$$

Utilizando el valor medio teorema, tenemos $d\in(a,b)$ tal que $$\phi'(d) = \frac{\phi(b)-\phi(a)}{b-a} = \frac{\phi(b)}{b-a} = -\phi'(b).$$

Así, por Darboux del teorema (del valor medio el teorema de la derivada, que no requieren $\phi'$ continua), existe una $c^{*}\in [d,b]$$\phi'(c^{*}) = 0$. Si $c^{*} \neq b$, tomamos $c = c^{*}$. Si $c^{*} = b$,$\phi'(d) = -\phi'(b) = 0$, por lo que tomamos $c = d$. Y de esta manera podemos asegurar que $c \in (a,b)$.

Answer 3

Para el propósito de encontrar una contradicción, podemos investigar $\phi'$ cerca de $a$. Si $c$, de hecho, pasa a ser $a$,$\phi'(a)=0$. Así que, por el momento vamos a suponer que $f$ es dos veces diferentiable en $a$, $$\lim_{x\rightarrow a}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f'(x)}{x-a}-\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}\right)=\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f'(x)(x-a)-(f(x)-f(a))}{(x-a)^2}\right)$$ Por la continuidad y la diferenciabilidad de $f$ $a$ obtenemos $0/0$, por lo que podemos aplicar L'Hôpital $$\lim_{x\rightarrow a}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)+f''(x)(x-a)-f'(x)}{2(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f''(x)}{2}=\frac{1}{2}f''(a)$$ OK, así que si $\phi'$ es continua en a $a$ tenemos $$\phi'(a)=\frac{1}{2}f''(a)$$ Esto nos dice que si $a$ es un punto crítico de $\phi$$f''(a)=0$, que no está en la hipótesis. Por el otro extremo, $$\phi'(b)=0 \implies f'(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ De nuevo, no es necesariamente cierto. Así que, por el contra-positivo, el problema está resuelto para todos los $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ diferenciable con $f'(a)=f'(b)$ satisfacción: dos veces diferenciable en a $a$, $$f''(a)\neq 0$$ y $$f'(b)\neq\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Mi siguiente paso sería suponiendo que cada una de esas cosas y que muestra de ello todavía no se puede hacer, pero me quedé sin ideas. Espero que esto pueda ayudarte.