Derivado funcional en el modelo lineal Sigma

Question

En el lineal sigma modelo, el Lagrangiano es dada por

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \left(\partial_\mu\phi^i\right)\left(\partial^\mu\phi^i\right) +\frac{1}{2}\mu^2\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^i\right)^2-\frac{\lambda}{4}\left(\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^i\right)^2\right)^2 \tag{11.65} $$ (por ejemplo, ver Peskin & Schroeder página 349).

Cuando perturbativa de computación de la acción efectiva para este Lagrangiano de la derivada $ \frac{\delta^2\mathcal{L}}{\delta\phi^k(x)\delta\phi^l(x)} $ debe calcularse. (por ejemplo, Eq. (11.67) en P&S):

$$ \frac{\delta^2\mathcal{L}}{\delta\phi^k(x)\delta\phi^l(x)} ~=~ -\partial^2\delta^{kl} +\mu^2\delta^{kl}-\lambda\left[\phi^i\phi^i\delta^{kl}+2\phi^k\phi^l\right].\la etiqueta{11.67}$$

Mi pregunta es, ¿cómo se supone que debe manejar el término derivado?

Este parece ser totalmente implícito en la presentación de P&S, pero de lo que podría reunir debería ir así:

1) Porque somos la computación de la acción efectiva, $\mathcal{L}$ es en realidad en forma integral y podemos reemplazar $\left(\partial_\mu\phi^i\right)\left(\partial_\mu\phi^i\right)$ $-\left(\partial^\mu\partial_\mu\phi^i\right)\phi^i=-\left(\partial^2\phi^i\right)\phi^i$ el uso de Stokes teorema.

2) a Continuación, cuando la realización de la primera derivada llego $\frac{\delta}{\delta\phi^l}\left[-\left(\partial^2\phi^i\right)\phi^i\right]=-\partial^2\phi^l$.

3) es la derivada segunda me quedo pegado en, por lo que puedo ver, $\frac{\delta}{\delta\phi^k}\left[-\partial^2\phi^l\right]=0$, porque no es sólo la dependencia de la 2ª derivada de $\phi^l$ e no $\phi^l$ sí. Si, como es usual en la teoría de campo, el campo y sus derivados son tratados como independientes de la dinámica de las variables, entonces la segunda derivada también debe ser independiente de la dinámica de la variable. Cómo se explica, entonces, que el resultado de este cálculo debería ser $\frac{\delta}{\delta\phi^k}\left[-\partial^2\phi^l\right]=-\delta^{kl}\partial^2$?

Answer 1

Comentario a la pregunta (v2): P&S es el uso de la notación de un mismo espacio-tiempo funcional de los derivados. Para ilustrar esta notación, supongamos por simplicidad permanecer dentro de las primeras variaciones, y dejar que el lector generalizar de orden superior variaciones.

I) en Primer lugar, funcional/variacional derivados no debe ser confundido con derivadas parciales. En la práctica, desde un punto de vista operativo (si no nos preocupamos acerca de la matemática detalles acerca de la existencia y los límites de los términos), todo lo que necesitamos saber es las siguientes reglas:

1. La fórmula $$\etiqueta{Un} \frac{\delta \phi^{\beta}(y)}{\delta\phi^{\alpha}(x)} ~=~\delta^{\beta}_{\alpha}~\delta^n(x-y), $$ donde $n$ es la dimensión espacio-tiempo.

2. Adecuado generalizaciones de las reglas elementales de cálculo, tales como, por ejemplo, la regla de la cadena, integración por partes, conmutatividad de derivados, y la distribución delta de Dirac.

Por ejemplo, a través de estas reglas 1 y 2, tenemos que

$$ \frac{\delta}{\delta\phi^{\beta}(y)} \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\ldots \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}}\phi^{\alpha}(x) ~=~ \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\ldots \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}} \frac{\delta}{\delta\phi^{\beta}(y)}\phi^{\alpha}(x)$$ $$\tag{B}~\stackrel{(A)}{=}~\delta_{\beta}^{\alpha}~\frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\ldots \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}}\delta^n(x-y). $$

Del mismo modo, por las reglas 1 y 2, se puede deducir que la acción

$$\tag{C}S~=~\int d^nx ~{\cal L}(x) , \qquad {\cal L}(x)\equiv {\cal L}(\phi(x), \partial \phi(x), \ldots, x),$$

tiene el de Euler-Lagrange expresión como funcionales derivados

$$ \tag{D}\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots.$$

Los puntos suspensivos $\ldots$ en la nca. (C) y (D) indica las posibles contribuciones de orden superior en el espacio-tiempo de los derivados.

II) a partir De la fórmula (A) es evidente que lo hace no tiene sentido considerar la funcional derivado $\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}$ wrt. al mismo tiempo el argumento de $x$, ya que eso llevaría a infinitos, cf. $\delta^n(0)=\infty$. Sin embargo, es tentador para introducir la notación de un mismo espacio-tiempo funcional de los derivados

$$\tag{E}\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots.$$

Insistimos en que la eq. (E) es sólo una anotación definición. No tendría sentido si tratamos de interpretar el lado izquierdo. de eq. (E) el uso de las reglas anteriores 1 y 2.

III) del mismo modo, P&S hablar de segundo orden 'del mismo espacio-tiempo funcional de los derivados

$$\tag{F}\frac{\delta^2 {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)\delta\phi^{\beta}(x)}.$$

Recomendamos, en primer lugar, el ordinario de segundo orden funcional derivado

$$\tag{G}\frac{\delta^2 S}{\delta\phi^{\alpha} (x)\delta\phi^{\beta}(y)}$$

el uso de las reglas 1 y 2. A continuación, debería ser bastante sencillo de traducir (G) en el mismo espacio-tiempo' funcional derivado de la lengua (F), si es necesario. [En particluar, eq. (G) contiene un $\delta^n(x-y)$, mientras que el eq. (F) no.]

IV) Finalmente, debemos mencionar que en la teoría de campo, a menudo se suprime el espacio-tiempo de los índices de $x,y,\ldots$, mediante el uso de DeWitt condensada de la notación.

Answer 2

Para referencia bien, aquí está el cálculo de (G), mencionado más arriba en @Qmechanic la respuesta:

El Lagrangiano viene dado por: $$ \mathcal{L}\left[\phi\right]\left(z\right)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left(\partial_{\mu}\phi^{i}\right)\left(\partial^{\mu}\phi^{i}\right)+\frac{1}{2}\mu^{2}\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\right)^{2}-\frac{\lambda}{4}\left(\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\right)^{2}\right)^{2} $$

y por lo tanto la acción es: $$ S\left[\phi\right]=\int d^{4}z\left\{ \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left(\partial_{\mu z}\phi^{i}\left(z\right)\right)\left(\partial^{\mu}\,_{z}\phi^{i}\left(z\right)\right)+\frac{1}{2}\mu^{2}\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}-\frac{\lambda}{4}\left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]^{2}\right\} $$

Por lo tanto el cálculo de la ecuación (11.67) en P&S es, explícitamente (no siguiendo el mismo espacio-tiempo de la taquigrafía-notación se mencionó anteriormente): \begin{eqnarray} \frac{\delta^{2}S\left[\phi\right]}{\delta\phi^{a}\left(x\right)\delta\phi^{b}\left(y\right)}&=&\frac{\delta^{2}}{\delta\phi^{a}\left(x\right)\delta\phi^{b}\left(y\right)}\int d^{4}z\left\{ \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left(\partial_{\mu z}\phi^{i}\left(z\right)\right)\left(\partial^{\mu}\,_{z}\phi^{i}\left(z\right)\right)+\frac{1}{2}\mu^{2}\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}-\frac{\lambda}{4}\left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]^{2}\right\} \\&\stackrel{\star}{=}&\frac{\delta}{\delta\phi^{a}\left(x\right)}\int d^{4}z\left\{ \sum_{i=1}^{N}\left(\left(\partial^{\mu}\,_{z}\phi^{i}\left(z\right)\right)\left(\partial_{\mu}\,_{z}\frac{\delta}{\delta\phi^{b}\left(y\right)}\phi^{i}\left(z\right)\right)\right)+\mu^{2}\sum_{i=1}^{N}\phi^{i}\left(z\right)\frac{\delta}{\delta\phi^{b}\left(y\right)}\phi^{i}\left(z\right)-\lambda\left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]\left[\sum_{j=1}^{N}\phi^{j}\left(z\right)\frac{\delta}{\delta\phi^{b}\left(y\right)}\phi^{j}\left(z\right)\right]\right\} \\&=&\frac{\delta}{\delta\phi^{a}\left(x\right)}\int d^{4}z\left\{ \sum_{i=1}^{N}\left(\left(\partial^{\mu}\,_{z}\phi^{i}\left(z\right)\right)\left(\partial_{\mu}\,_{z}\delta^{ib}\delta\left(z-y\right)\right)\right)+\mu^{2}\sum_{i=1}^{N}\phi^{i}\left(z\right)\delta^{ib}\delta\left(z-y\right)-\lambda\left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]\left[\sum_{j=1}^{N}\phi^{j}\left(z\right)\delta^{jb}\delta\left(z-y\right)\right]\right\} \\&=&\frac{\delta}{\delta\phi^{a}\left(x\right)}\int d^{4}z\left\{ \left(\partial^{\mu}\,_{z}\phi^{b}\left(z\right)\right)\left(\partial_{\mu}\,_{z}\delta\left(z-y\right)\right)+\mu^{2}\phi^{b}\left(z\right)\delta\left(z-y\right)-\lambda\left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]\left[\phi^{b}\left(z\right)\delta\left(z-y\right)\right]\right\} \\&=&\int d^{4}z\left\{ \left(\partial^{\mu}\,_{z}\delta^{ab}\delta\left(x-z\right)\right)\left(\partial_{\mu}\,_{z}\delta\left(z-y\right)\right)+\mu^{2}\delta^{ab}\delta\left(x-z\right)\delta\left(z-y\right)-2\lambda\phi^{a}\left(z\right)\delta\left(x-z\right)\phi^{b}\left(z\right)\delta\left(z-y\right)-\lambda\left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]\left[\delta^{ab}\delta\left(x-z\right)\delta\left(z-y\right)\right]\right\} \\&=&\int d^{4}z\left\{ -\delta^{ab}\left(\partial_{\mu}\,_{z}\partial^{\mu}\,_{z}\delta\left(x-z\right)\right)\delta\left(z-y\right)+\mu^{2}\delta^{ab}\delta\left(x-z\right)\delta\left(z-y\right)-\lambda\left\{ \left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(z\right)\right)^{2}\right]\delta^{ab}+2\phi^{a}\left(z\right)\phi^{b}\left(z\right)\right\} \delta\left(x-z\right)\delta\left(z-y\right)\right\} \\&=&-\delta^{ab}\left(\partial_{\mu}\,_{y}\partial^{\mu}\,_{y}\delta\left(x-y\right)\right)+\mu^{2}\delta^{ab}\delta\left(x-y\right)-\lambda\left\{ \left[\sum_{i=1}^{N}\left(\phi^{i}\left(y\right)\right)^{2}\right]\delta^{ab}+2\phi^{a}\left(y\right)\phi^{b}\left(y\right)\right\} \delta\left(x-y\right) \end{eqnarray}

Para demostrar $\star$, el uso de la definición funcional de la derivada como una expansión de Taylor (donde esta toda la enchalada comenzó en la ecuación (11.58) en P&S): $$ \mathcal{L}[\phi(x)+\epsilon\,\eta(x)] = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\epsilon^n\left.\left(\frac{d}{d\epsilon} \mathcal{L}[\phi(x)+\epsilon\,\eta(x)]\right)\right|_{\epsilon=0} $$