Generalización del cos: ¿se conoce esta función?

Question

Considere una función $f_1$ definido por $f_1(x)=1-x+o(x)$ y $f_1(2x)=f_1(x)^2 + 0$ . Es sencillo encontrar que $f_1(x)=e^{-x}$ (por ejemplo, escribiendo series cerca de $x=0$ ).

Considere una función $f_2$ definido por $f_2(x)=2-x^2+o(x^2)$ y $f_2(2x)=f_2(x)^2-2$ . Se puede demostrar que $f_2(x)=2 \cos(x)$ .

¿Existe alguna fórmula (probablemente con el uso de funciones especiales) para la generalización de esto, es decir, la función $f_n$ definido por $f_n(x)=2^{n-1}-x^n+o(x^n)$ y $f_n(2x)=f_n(x)^2-2^{2n-2}+2^{n-1}$ ?

Answer 1

Asumiendo la corrección de Willie Wong, por un método de coeficientes indeterminados no es muy difícil generar una serie para $f_3$ y comienza

$ 4-x^3+(1/56)x^6-(1/14112)x^9+(13/115379712)x^{12}-(53/629973227520)x^{15}+(17413/495415985907548160)x^{18} + \cdots$

pero no está claro qué hacer con esto. Por ejemplo, los denominadores tienen factores primos grandes: $495415985907548160 = 2^{14} 3^4 5^1 7^5 13^1 31^1 73^1 151^1$ . Esto parece sugerir que no va a haber una ecuación diferencial de tercer orden fácil, mientras que su $f_1$ y $f_2$ satisfacen ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.