¿Pueden los diferenciales de Kahler de un "buen" anillo local R libres de la fila no es igual a dim(R)?

Question

Sea$R$ un anillo local que contenga un campo isomorfo a su campo de residuo$k$. Suponga que$R$ es una localización de un álgebra$k$ - generado de forma finita.

1. ¿Puede$\Omega_{R/k}$ estar libre de rango$r\neq\dim{R}$? Si puede, ¿hay límites en$r$?
2. ¿Requiere$k$ ser perfecto para cambiar algo?

Answer 1

Sí, esto puede suceder. Por ejemplo, tome $k = {\mathbb F}_p$$R := {\mathbb F}_p[X]/(X^p)$. A continuación, $\Omega^1_{R/k}\cong R\cdot\text{d}x$ es libre de rango $1$$R$. Teniendo en cuenta el tensor de potencias $R\otimes_k ...\otimes_k R$ también muestra que incluso no hay un límite en $r$.

Editar Elimina la basura. Otro intento: Si $R$ es reducido y $k$ es perfecto, entonces podemos darnos cuenta de $R$ como el anillo local en un $k$-racional punto de una reducción de la $k$-variedad de $X$ tal que $\Omega_{X/k}$ es libre de rango $r$, dicen. A continuación, $X$ es geométricamente reducido, por lo tanto genéricamente suave. Ahora, para suavizar $k$-variedades de $X$, el local rango de $\Omega^1_{X/k}$ es la dimensión, por lo que llegamos a la conclusión de que $X$ es equidimensional de dimensión $r$, y, en particular,$r = \text{dim}(R)$.

Answer 2

Sé muy poco acerca de la característica $p$ geometría, así que estoy asumiendo $k$ es de característica cero. También, me estoy tomando la $R$ a de un dominio, así que esto es más una lluvia de ideas acerca de las singularidades que sobre reducible variedades.

Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $R$. A continuación, $\Omega_{R/k} \otimes K$ $K$- espacio vectorial de dimensión $r = \dim(R)$. (De hecho, $\{df_i\}$ formulario $K$-base de este espacio vectorial si y solo si el $\{f_i\}$ formulario de una trascendencia base para $K/k$.) Así que de inmediato vemos que la única clasificación que $\Omega_{R/k}$ podría tener, si fuese libre de $R$-módulo, es $r$. Si no es gratis, es porque $\dim_k (\Omega_{R/k} \otimes k) > r$ $k$- espacio vectorial.

(Recordemos que, para finitely módulos generados por los $M$ más local (noetherian) dominios, $M$ es libre si y sólo si $\dim_k (M \otimes k) = \dim_K (M \otimes K)$.)