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Semi-normas multiplicativas enC[x]C[x]

Una de multiplicación semi-norma en un anillo de AA es una función de ||:AR0||:AR0 que es multiplicativa y satisface la semi-norma de condiciones:

|0|=0,|1|=1|fg|=|f||g|,|f+g||f|+|g|.

Quiero ver por qué el conjunto de multiplicación semi-normas en C[x] que amplían el valor absoluto de la norma en C es de la forma f|f(x)| algunos xC. Se dice aquí que esto se desprende de Gelfand-Mazur del teorema, pero no veo cómo. Alguien puede dar una prueba?

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Mike Miller Puntos 17852

Dado un seminorm p, vamos a mp={fC[x]:p(f)=0}. Este ideal es primo, como si fgmp, p(f)p(g)=0, así que una de p(f) o p(g) es cero. Por lo mp=xa algunos aC o mp={0}.

Supongamos mp={0}. A continuación, p es de hecho una norma en C[x] y se extiende a una norma en C(x)p(ab)=p(a)/p(b). Por lo C(x) tiene la estructura de una normativa de campo. Pasando a la finalización ahora tenemos una completa normativa campo que contiene C(x), y por lo tanto es infinito dimensional sobre C; esto contradice Gelfand-Mazur, y por lo tanto mp debe haber sido máxima.

Escribir mp=xap. A continuación, para cualquier f(x), f(x)=g(x)+c donde gmp. Entonces la inversa de la desigualdad del triángulo da |p(f)p(c)|p(fc)=p(g)=0, lo p(f)=p(c)=|c|=|f(ap)|. Por lo tanto p(f)=|f(ap)| todos los fC[x] como se desee.

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