Semi-normas multiplicativas en$\mathbb{C}[x]$

Question

Una de multiplicación semi-norma en un anillo de $A$ es una función de $|\,|:A\to \mathbb{R}_{\ge 0}$ que es multiplicativa y satisface la semi-norma de condiciones:

$|0|=0,|1|=1\\ |fg|=|f||g|,\\ |f+g|\le |f|+|g|.$

Quiero ver por qué el conjunto de multiplicación semi-normas en $\mathbb{C}[x]$ que amplían el valor absoluto de la norma en $\mathbb{C}$ es de la forma $f\mapsto |f(x)|$ algunos $x\in \mathbb{C}$. Se dice aquí que esto se desprende de Gelfand-Mazur del teorema, pero no veo cómo. Alguien puede dar una prueba?

Answer 1

Dado un seminorm $p$, vamos a $\mathfrak m_p = \{f \in \Bbb C[x] : p(f) = 0\}$. Este ideal es primo, como si $fg \in \mathfrak m_p$, $p(f)p(g) = 0$, así que una de $p(f)$ o $p(g)$ es cero. Por lo $\mathfrak m_p = \langle x-a\rangle$ algunos $a \in \Bbb C$ o $\mathfrak m_p = \{0\}$.

Supongamos $\mathfrak m_p = \{0\}$. A continuación, $p$ es de hecho una norma en $\Bbb C[x]$ y se extiende a una norma en $\Bbb C(x)$$p'\left(\frac{a}{b}\right) = p(a)/p(b)$. Por lo $\Bbb C(x)$ tiene la estructura de una normativa de campo. Pasando a la finalización ahora tenemos una completa normativa campo que contiene $\Bbb C(x)$, y por lo tanto es infinito dimensional sobre $\Bbb C$; esto contradice Gelfand-Mazur, y por lo tanto $\mathfrak m_p$ debe haber sido máxima.

Escribir $\mathfrak m_p= \langle x-a_p\rangle$. A continuación, para cualquier $f(x)$, $f(x) = g(x)+c$ donde $g \in \mathfrak m_p$. Entonces la inversa de la desigualdad del triángulo da $|p(f)-p(c)| \leq p(f-c) = p(g) = 0$, lo $p(f) = p(c) = |c| = |f(a_p)|$. Por lo tanto $p(f) = |f(a_p)|$ todos los $f \in \Bbb C[x]$ como se desee.