Tomando la definición de sistemas abiertos y cerrados

Question

En un subespacio métrico $S = [0,1]$$\mathbb{R}^1$, ¿por qué es que cada intervalo de la forma $[0,x)$ o $(x,1], x\in (0,1)$, es un conjunto abierto en $S$?

Entiendo que si se va a eliminar, a continuación, el resto es un conjunto cerrado; por lo tanto ambos $[0,x)$ o $(x,1]$ están abiertos conjuntos. La definición estoy teniendo dificultad con la que involucra los puntos del interior. WLOG, teniendo en $[0,x)$, si tuviera que tomar una bola abierta centrada en algún punto cerca de $0$ radio $\epsilon$, entonces si yo quería incluir $0$, el open de bola tendría que ir más allá de $0$.

Esto no acaba de tener sentido para mí. Podría alguien por favor aclarar esto?

Answer 1

En el espacio de $[0,1]$ la bola abierta de radio $\frac14$ centrada en $0$ es, por definición,

$$\left\{x\in[0,1]:|x-0|<\frac14\right\}\;,$$

que es claramente el intervalo de $\left[0,\frac14\right)$. De hecho, para cualquier $r$ satisfacción $0<r<1$ la bola abierta de radio $r$ y el centro de la $0$ es

$$\{x\in[0,1]:|x-0|<r\}=[0,r)\;.$$

Y si $r>1$, $[0,1]$ la bola abierta de radio $r$ centrada en $0$ es

$$\{x\in[0,1]:|x-0|<r\}=[0,1]\;.$$

Esto es todo recto a partir de la definición de la bola abierta en el espacio de $[0,1]$, y muestra que los $0$ está en el interior de $\left[0,\frac14\right)$, ya que existe una bola abierta centrada en $0$ y contenidos en (de hecho, igual a) $\left[0,\frac14\right)$.

También puede acercarse a ella desde el punto de vista de la topología de subespacio de $[0,1]$. Un conjunto $U\subseteq[0,1]$ está abierto en $[0,1]$ en la topología de subespacio iff existe un subconjunto abierto $V$ $\Bbb R$ tal que $U=V\cap[0,1]$. Tome $U=\left[0,\frac14\right)$, por ejemplo:$U=\left(-\frac14,\frac14\right)\cap[0,1]$, e $\left(-\frac14,\frac14\right)$ es ciertamente abierto en $\Bbb R$, lo $U$ está abierto en $[0,1]$.

Answer 2

Dado que$I=[0,1]$ está siendo considerado como un subespacio métrico de$\Bbb R$ (con métrica$d$, digamos), entonces para cualquier$x\in I$ y cualquier$r>0$ % #% Indica el$B_I(x;r)$ - bola abierto en$d$ sobre el radio$I$, y$x$ $r$$B_{\Bbb R}(x;r)$ $d$%% 0, r)$r$ 0 <r <1$x$ I$\Bbb R$ 1$$\begin{align}B_I(x;r) &= \{y\in I:|x-y|<r\}\\ &= I\cap\{y\in\Bbb R:|x-y|<r\}\\ &= I\cap B_{\Bbb R}(x;r).\end{align}$ <R <1 $.

Answer 3

Es abierto con respecto a la topología de subespacio. Puesto que usted quiere que todo el conjunto sea abierto, $\left[0,1\right]$ es abierta con respecto a la topología de subespacio. A continuación, $\left(x,t\right)$ (que es abierto en $\left(\Bbb{R},\tau_{Euclidean}\right)$), $x\in\left(0,1\right)$, $t \geq 1$, se cruzaba con $\left[0,1\right]$ debe estar abierta (como la intersección de un número finito de abiertos es abierta, y $$ \left(x,t\right)\bigcap\left[0,1\right] = (x,1]. $$ En realidad, los conjuntos de la forma $(a,b)$ (donde$a$$b$, posiblemente, podría ser infinito) son una base para la topología en $\Bbb{R}$. Por lo tanto, por definición de la topología de subespacio, un conjunto abierto en $\left(\left[0,1\right],\tau\right)$ está dado por $U\cap\left[0,1\right]$ donde $U$ está abierto en $\Bbb{R}$, y una base para esta topología es dado por los conjuntos de la forma $(a,b)\cap\left[0,1\right]$.

Tenga en cuenta que en la topología de subespacio de $\left[0,1\right]$, no hay otros puntos de $\Bbb{R}$ existen, por lo que, dada $p\in\left[0,1\right]$, un conjunto abierto $U$ contiene $p$ puede estar formado por tomar un intervalo abierto $I$ contiene $p$ y la intersección con $\left[0,1\right]$.