Cómo demostrar que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ si $\lim\limits_{x\to+\infty}([f'(x)]^2+f^3(x))=0$?

Question

Pregunta:

Deje $f$ ser diferenciable en a $[0,+\infty)$, como$$\lim_{x\to+\infty}\left([f'(x)]^2+f^3(x)\right)=0$$show that $$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$$

Creo que es un problema similar a este enlace y (el fondo)

Para mi problema, supongo que si $$\lim_{x\to+\infty}\left([f'(x)]^{2m}+f^{2n+1}(x)\right)=0,m,n\in N^{+},n,m>1$$ entonces tenemos $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$.

Answer 1

Añadido: Aquí está una manera más concisa de expresar el argumento en (II.) y (III.), es decir, de completar la prueba, una vez establecida, que $f$ debe ser, finalmente, monótona (ver Paramanand del argumento, que me replicar en me). Si $f$ finalmente es monótona y satisface $(1)$ pero no $(2)$, $f$ el tiempo debe ser apartó de $0$, e $f'$ eventualmente debe tener signo constante. En ese caso, $(1)$ implica que el $\lim_{x\to\infty} f'(x)/|f(x)|^{b/a}$ existe y es igual a $1$ o $-1$. Para $b/a>1$, esto no puede ser verdad; de lo contrario, por lo suficientemente grande $A$, \begin{align*} \limsup_{x\to\infty} \left|{1\over|f(x)|^{b/a-1}} - {1\over|f(A)|^{b/a-1}}\right| &= \limsup_{x\to\infty} \left|(-b/a+1)\int_A^x {f'(t)\over |f(t)|^{b/a}}\,dt\right|\\ & = |-b/a+1|\int_A^\infty {|f'(t)|\over |f(t)|^{b/a}}\,dt \\ & \geq |-b/a + 1| \int_A^\infty {1\over2}\,dt, \end{align*} decir. La última cantidad es infinita, pero la primera debe ser finito desde $f$ se apartó de $0$, y este es nuestro contradicción. (Como he dicho, esto es, básicamente, una reformulación del argumento de la siguiente).

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Aquí, creo, es el (o al menos una) la generalización, junto con una completa prueba (préstamos, en los lugares, de Paramanand la respuesta): Si $f$ es diferenciable en a $[0,\infty)$ y no existe $a$ $b$ $0<a<b$ tal que \begin{align*} \lim_{x\to\infty}{|f'(x)|^a - |f(x)|^b} = 0, \tag{1} \end{align*} entonces \begin{align*} \lim_{x\to\infty}f'(x) = \lim_{x\to\infty} f(x) = 0. \tag{2} \end{align*} Esto se resuelve China problema de Matemáticas, ya que $\left|f'(x)^2 + f(x)^3\right|\geq \left||f'(x)|^2-|f(x)|^3\right|$, y así podemos tomar $a = 2$$b = 3$. Sospecho que la declaración es fuerte en el sentido de que, siempre que $0< b\leq a$, existen funciones que satisfacen $(1)$ pero no $(2)$ (mike respuesta sugiere que esto es cierto para $b<a$ y la función exponencial, demuestra que esto es cierto cuando se $a = b$, aunque también es cierto que $(2)$ está satisfecho al $a = b = 1$ si la cantidad en la $(1)$ se sustituye $f'(x) + f(x)$), pero realmente no he tratado de construir. Supongo que también se podría preguntar qué ocurre cuando $a$ $b$ son permitidos ser negativo, pero estoy cansado.

De todos modos, para probar esto, voy a seguir Paramanand conducen a mostrar (I.) que una función de la satisfacción de $(1)$ pero no $(2)$ debe ser, finalmente, monótono; (II.) que tal función debe ser sin límites; y (III.) que no hay función de la satisfacción de $(1)$ puede ser ilimitado. Este último paso-que no ilimitado, de forma monotónica puede satisfacer $(1)$ pero no $(2)$-es la única cosa que Paramanand no probar, y que básicamente se reduce a la proposición de que no es ilimitado, de forma monotónica $f$ eventualmente satisfacer $|f'|>|f|^\nu$ algunos $\nu>1$. Disculpas por la recitación de Paramanand argumentos hacia el principio, pero yo quería ser completa.

I. Si $f$ no es, finalmente, monótona, entonces, como Paramanand ha señalado, el conjunto de puntos, se $E$, en el que se alcanza un extremo local es ilimitado. Desde $f'$ se desvanece en cada punto de $E$, se puede concluir que la $f(x)\to0$ $x\to\infty$ a través de $E$. Pero $\limsup_{x\to\infty}|f(x)| = \limsup_{x\in E, x\to\infty} |f(x)|$, y debe ser así que, si $f$ no es, finalmente, monótona, $f(x)\to0$$x\to\infty$.

II. Podemos ahora supongamos $f$ a ser monótono. Si es acotado, entonces $f(x)$ tiende a un límite, se $L$$x\to\infty$. La ecuación de $(1)$ implica entonces que $|f'(x)|$ converge a$|L|$$x\to\infty$. Una variación en Paramanand del valor de la media argumento, a continuación, establece que $L = 0$: \begin{align*} \text{%#%#% for some %#%#%}; \end{align*} como $|f(x+1) - f(x)| = |f'(\xi)|$, el lado izquierdo de la ecuación se desvanece mientras que el lado derecho necesariamente tiende a $\xi\in(x,x+1)$. Por lo tanto $x\to\infty$, y hemos terminado en el caso de $L$ está acotada.

III. Finalmente, suponga que $L = 0$ es ilimitado. (También se conserva, por supuesto, la suposición de que $f$ es monótona.) A continuación, $f$ $f$ no se desvanecen para suficientemente grande $|f(x)|\to\infty$-voy a demostrar que esto no puede ocurrir cuando el crecimiento de $f$ es mucho mayor que la de $x$. Desde $f'$, podemos optar $f$$0<a<b$. Puedo reclamar ahora que $\nu$ para todos lo suficientemente grande $1<\nu < b/a$. De lo contrario, el conjunto de $|f'(x)|>|f(x)|^\nu$ para los que \begin{align*} |f'(x)|^a - |f(x)|^b < |f(x)|^{a\nu} - |f(x)|^b \end{align*} sería sin límites, y eso no es así debido a que el lado izquierdo se supone que se desvanecen en el límite de $x$, mientras que el lado derecho tiende a $x$ por virtud de los hechos que $x\to\infty$$-\infty$$|f(x)|\to\infty$. Mi reclamo es justificado.

Consideremos ahora la función de $x$. Debido a $0 < a\nu < b$ no se desvanecen para suficientemente grande $g(x) = |f(x)|^{-\nu+1}$, $f(x)$ es diferenciable para suficientemente grande $x$, y debido a $g$$x$$\nu>1$, podemos estar seguros de que $|f(x)|\to\infty$$x$. También podemos estar seguros, sin embargo, que para $g(x)\to0$ suficientemente grande (lo suficientemente grandes como para $x\to\infty$ es diferenciable en a$x$$g$) \begin{align*} |g'(x)| = |(-\nu+1)f(x)^{-\nu}f'(x)| > |-\nu + 1|. \end{align*} Esto, junto con el valor medio teorema, plantea un problema: si $x$ $|f'(x)|>|f(x)|^\nu$ son lo suficientemente grandes, como los de arriba, a continuación, para algunos $x$, \begin{align*} |g(x) - g(y)| & = |g'(\xi)(x-y)| \\ & > |-\nu + 1||x-y|. \end{align*} Desde $y$, el lado derecho tiende a infinito con $\xi\in (x,y)$ si mantenemos $|-\nu+1|>0$ fijo. Que es el deseado contradicción, porque tendríamos $x$ y, por tanto, el lado izquierdo debe tender en el límite de $y$ a la cantidad finita $\lim_{x\to\infty}g(x) = 0$.

Answer 2

Esto no es un riguroso respuesta. Solo necesito el espacio para escribir fácilmente las ecuaciones.

Vamos a considerar la educación a distancia tiene cerca de $x\to\infty$:

$$(f'(x))^2+f^3(x)=0 \tag{1}$$

La solución de (1) es:

$$f(x)=-\frac{4}{(x+c)^2} \implies f'(x)=\frac{8}{(x+c)^3}$$

Así $$\lim_{x\to\infty}f(x)=0,\lim_{x\to\infty}f'(x)=0 \tag{2}$$

Ahora, consideremos la siguiente ODA tiene cerca de infinity:

$$(f'(x))^{2m}+f^{2n+1}(x)=0,m,n\in N^{+},n,m>1\tag{3}$$

La solución a (3) está dada por:

$$f(x)= 4^{m/(1 - 2m + 2n)} \left(\frac{i^{1/m}(-1 + 2m - 2n)(1 + x)}{m}\right)^{(2m)/(-1 + 2m - 2n)}\etiqueta{4}$$

donde la constante de integración se establece a ser $i^{1/m}$. Cuando nos pusimos $m=3,n=2$, obtenemos:

$$f(x) = -\frac{(1 + x)^6}{46656}, f'(x)=-\frac{(1 + x)^5}{7776} \tag{5}$$

Claramente $f(x),f'(x)$ (5) no se cumplen (2).

Answer 3

Vamos a tratar de la siguiente manera (un estilo de toma de Hardy Pura Matemática para el problema relacionado con la $f'(x) + f(x) \to 0$).

Supongamos $f'(x) \geq 0$ para suficientemente grande $x$. A continuación, $f(x)$ está aumentando y por lo tanto tiende a un límite o $\infty$. De ello se desprende que $f(x)$ tiene una constante señal para suficientemente grande $x$. Desde $\{f'(x)\}^{2} + \{f(x)\}^{3} \to 0$, se deduce que el $f(x)$ debe ser negativo para un gran $x$. De ello se desprende que $f(x) \to A$ donde $A \leq 0$. Esto significa que $f'(x) \to (-A)^{3/2}$. Cuando ambos $f'(x)$ $f(x)$ tienden a un límite, a continuación, $f'(x) \to 0$ (esto es fácil de ver si se considera la ecuación $f(x) - f(x/2) = (x/2)f'(c)$ por MVT). Así vemos que $A = 0$ y hemos terminado.

Misma manera que podemos manejar el caso al $f'(x) < 0$ para suficientemente grande $x$.

Si $f'(x)$ cambia de signo para todos lo suficientemente grande $x$ (lo que significa que dado cualquier número real $N > 0$, hay un $x_{1} > N$ tal que $f'(x_{1}) < 0$ e una $x_{2} > N$ tal que $f'(x_{2}) > 0$), esto significa que no son lo suficientemente grandes valores de $x$ que sirven como puntos extremos de $f$. Desde $\left[\{f(x)\}^{3}\right]' = 3\{f(x)\}^{2}f'(x)$ se deduce que estos puntos son también los extremos de $\{f(x)\}^{3}$. En estos extremos los puntos que hemos $f'(x) = 0$ también $\{f'(x)\}^{2} + \{f(x)\}^{3} \to 0$, de modo que $f(x) \to 0$ al $x$ tiende a $\infty$ a través de estos puntos extremos. Ya que los valores de $f$ en la extrema puntos tiende a $0$, los valores de $f$ a otros grandes puntos de $x$ también tienden a $0$. De ello se desprende que $f(x) \to 0$. Y, a continuación, a partir de la condición de $\{f'(x)\}^{2} + \{f(x)\}^{3} \to 0$ obtenemos $f'(x) \to 0$.

Actualización: creo que no puede manejar el caso al $f'(x) < 0$ para suficientemente grande $x$. Porque en este caso es posible tener $f(x)$ disminuyendo a $-\infty$ $f'(x)$ también la disminución de a $-\infty$ y por lo tanto dar lugar a un caso al $\{f'(x)\}^{2} \to \infty$ $\{f(x)\}^{3} \to -\infty$ de tal manera como para tener la suma tiende a $0$. Supongo que necesitamos para hacer frente a este caso de alguna otra manera o existe un contraejemplo a la pregunta en este caso. Por lo tanto, este debería ser considerado como una respuesta parcial.