Prueba por inducción: Demuestre que $7|5^{2n}-2^{5n}$

Question

Estoy atascado en mi paso inductivo, y no puedo averiguar cómo manipular esto algebraicamente para obtener la forma que quiero...

$5^{2k}-2^{5k}=7m,m\in\mathbb{Z}$

\begin{align*} 5^{2k+2}-2^{5k+2}=5^{2k}\cdot 5^{2}-2^{5k}\cdot 2^{2} \end{align*}

Así que no estoy seguro de qué hacer ahora...

Answer 1

Yo no lo haría por inducción. La aritmética modular es tu amiga.

$$5^{2n} - 2^{5n} = 25^n - 32^n\equiv 4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{7}.$$

(Usted podría convertir esto en una prueba por inducción: demostrar que para todo $n\in \mathbb{N}$ los restos al dividir por $7$ de $5^{2n}$ y $2^{5n}$ son los mismos. Pero realmente no sería tan bonito).

Answer 2

Tal vez otra solución para $n=1$ tenemos $25-32=-7$ este tiene el divisor $7$ .
Ahora suponemos que $7||5^{2n}-2^{5n}$ para un $n$ y demostraremos que esto implica $7|5^{2(n+1)}-2^{5(n+1)}$ .

La idea principal es que $32=25+7$ por lo que podremos manipularlo en un múltiplo de nuestro supuesto y añadir un múltiplo de $7$ .

$$5^{2n+2}-2^{5n+5}=25 \cdot 5^{2n} - 32 \cdot 2^{5n}=25\cdot 5^{2n}- (25+7)\cdot 2^{5n}= 25\cdot (5^{2n}-2^{5n}) -7 \cdot 2^{5n}$$ La primera parte es divisible a través de $7$ por nuestra suposición, y el segundo es un múltiplo de $7$ . Por lo tanto, es cierto.

Answer 3

$5^{2n}=(5^2)^n=25^n$ De la misma manera, $2^{5n}=32^n$

$$\text{So, }5^{2n}-2^{5n}=25^n-32^n$$

Ahora,

(1) $(a^n-b^n)(a+b)=a^{n+1}-b^{n+1}+ab(a^{n-1}-b^{n-1})$

$\implies a^{n+1}-b^{n+1}=(a^n-b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}-b^{n-1})$

Si $(a-b)$ divide $(a^{n-1}-b^{n-1}),(a^n-b^n)$

se dividirá $ (a^{n+1}-b^{n+1})$

Ahora, $(a-b)\mid (a-b)$ y $(a-b)\mid (a^2-b^2)$

(2) $(a-b)(a^n+b^n)=a^{n+1}-b^{n+1}-ab(a^{n-1}-b^{n-1})$

$\implies a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n+b^n)+ab(a^{n-1}-b^{n-1})$

Así que, $(a-b)\mid (a^{n+1}-b^{n+1})\iff $ divide $(a^{n-1}-b^{n-1})$

Ahora, $(a-b)\mid (a-b)$ y $(a-b)\mid (a^2-b^2)$

Aquí $a=25,b=32$

Answer 4

$$\forall\;a,b\in\Bbb R\;,\;\;a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1})\implies$$

$$5^{2n}-2^{5n}=25^n-32^n=(25-32)(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot32+\ldots+25\cdot32^{n-2}+32^{n-1})$$

y como $\,25-32=-7\,$ hemos terminado y sin inducción siempre que podamos asumir la primera ecuación anterior.

Answer 5

Set $a=5^2=25$ y $b=2^5=32$ . Entonces $$ (a^{n+1}-b^{n+1})-(a^{n}-b^{n}) = (a-1)a^n-(b-1)b^n = 24a^n - 31b^n = 24(a^n-b^n) - 7b^n $$ y así $$ a^{n+1}-b^{n+1} = 25(a^{n}-b^{n}) - 7b^n $$ Así, si $7$ divide $a^{n}-b^{n}$ entonces $7$ divide $a^{n+1}-b^{n+1}$ .