¿cómo evaluar una suma de potencias de coeficientes binomiales centrales?

Question

Tengo una serie que me preguntaba cómo evaluar. Tiene un resultado divertido y me estoy preguntando cómo se trata de sumas de ,o sumas alternas de, coeficientes binomiales centrales si están al cubo.

es decir $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left[\binom{2k}{k}x^{k}\right]^{3}$

Di, $x=1/4$ . Entonces, tendríamos:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}[(2k)!]^{3}}{4^{3k}(k!)^{6}}$

Según Mathematica, esto se evalúa como $\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}\Gamma^{2}(5/8)\Gamma^{2}(7/8)}$

Pero, ¿cómo podemos evaluar esto?

Conozco varias identidades relacionadas con éstas, pero no cuando son a algún poder.

Quizás se pueda implementar Beta/Gamma, pero no estoy seguro de cómo.

Gracias por cualquier idea o consejo.

EDIT: Aparentemente, éstas están relacionadas con las Integrales Elípticas de Primer Tipo, y pueden ser más difíciles de evaluar de lo que había previsto.

Answer 1

Como mínimo, debería reconocer fácilmente que tiene un serie hipergeométrica ya que

$$\binom{2k}{k}=\frac{\left(\tfrac12\right)_k4^k}{k!}$$

Entonces estás preguntando por la función hipergeométrica

$${}_3 F_2 \left({{\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12}\atop{1,1}}\mid-64x^3\right)$$

Resulta que este caso en particular es conocido por tener una expresión en términos de la integral elíptica completa del primer tipo $K(m)$ :

$${}_3 F_2 \left({{\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12}\atop{1,1}}\mid z\right)=\frac4{\pi^2}K\left(\frac{1-\sqrt{1-z}}{2}\right)^2$$

Esto es un poco tedioso de probar, así que lo omitiré por ahora.

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Para explicar la expresión en términos de funciones gamma, se sabe que para valores especiales del parámetro $m$ , llamado valores singulares que la integral elíptica completa del primer tipo es expresable en términos de funciones gamma.

Para $x=\tfrac14$ tenemos la expresión

$$\frac4{\pi^2}K\left(\frac{1-\sqrt 2}{2}\right)^2$$

El argumento de la integral elíptica no está dentro de $(0,1)$ Así que el transformación del módulo imaginario es necesario:

$$\frac4{\pi^2}K\left(\frac{1-\sqrt 2}{2}\right)^2=\frac4{\pi^2\left(1-\frac{1-\sqrt 2}{2}\right)}K\left(\frac{\tfrac{1-\sqrt 2}{2}}{\tfrac{1-\sqrt 2}{2}-1}\right)^2=\frac{8(\sqrt 2-1)}{\pi^2}K\left(3-2\sqrt 2\right)^2$$

Utilizando la fórmula 4 ici (correspondiente al valor singular $k_2$ ), tenemos

$$\frac{8(\sqrt 2-1)}{\pi^2}K\left(3-2\sqrt 2\right)^2=\frac{8(\sqrt 2-1)}{\pi^2}\frac{(\sqrt 2+1)\Gamma\left(\tfrac18\right)^2\Gamma\left(\tfrac38\right)^2}{2^{13/2}\pi}=\frac{\Gamma\left(\tfrac18\right)^2\Gamma\left(\tfrac38\right)^2}{2^{7/2}\pi^3}$$