En mi experiencia esto ocurre todo el tiempo. Comenzando con ciertas hipótesis que puede hacer que sea muy difícil de demostrar un teorema. Comenzando con una definición diferente a menudo pueden producir una solución fácil.
Inmediatamente un ejemplo es demostrar que $e^x$ es diferenciable. Usted puede comenzar por la definición de todas las funciones exponenciales para los enteros, entonces para los racionales. A continuación, puede arrancar su camino a los reales, si tiene un poco de cuidado, y usted tendrá continuidad. Ahora a tratar de demostrar que son diferenciables.
Si usted comienza con la definición de un derivado, rápidamente ejecutar en problemas. He encontrado/desarrollado en 3 diferentes directo pruebas de esto la diferenciabilidad, ninguno de los cuales es realmente fácil.
Sin embargo, dando la vuelta a las cosas, podemos tener un muy fácil la prueba de verdad, y evitar todos los detalles de tocar el violín que es necesario si queremos definir funciones exponenciales directamente. Para ello definir
log x = $\int_1^x (1/t)dt$ $ x \in (0, \infty)$
A partir de esta definición se puede de forma inmediata y demostrar las propiedades habituales del logaritmo. Por esta definición log x es monótona y diferenciable.
A continuación, defina $e^x$ a ser la inversa de log x, como se define arriba. Inmediatamente es monótona y diferenciable porque log x; y heredará de log x la costumbre de las propiedades de las exponenciales. Se han definido e como la base de una función exponencial, sin una elaborada derivación de la serie o lo que puede significar. Mostrando de esta dirección coincide con nuestro habitual idea de correo es bastante trivial.
Así, una compleja prueba con el enfoque directo se reduce a un par de líneas simples, con un enfoque indirecto.
Este es un ejemplo sencillo, pero algunas de las mejores pruebas a las que me han visto comenzó girando el problema en su cabeza.
