Me gustaría saber la probabilidad exacta del siguiente juego. Empiezo a contar del uno al 13 y lo hago totalmente cuatro veces. En cada turno digo un número y doy vuelta una carta del mazo. El as se considera como 1. Si en un turno digo el mismo número que aparece en la carta, pierdo. ¿Cuál es mi probabilidad de ganar?
Respuesta
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La respuesta exacta es
$$P(win) = \frac{\int_0^{\infty}L_4^{13}(x)e^{-x}dx}{52!/(4!)^{13}} \approx 1.6233\%$$
Dónde $L_4(x)$ es el cuarto Laguerre polinomio. El numerador es el número de derivaciones de un multiconjunto con 13 elementos diferentes repetidos 4 veces cada uno, y es de Derivaciones y polinomios de Laguerre por S. Even y J. Gillis y descrito en esta respuesta de MSE . También se puede encontrar una breve derivación utilizando los polinomios de la torre en Polinomios de Laguerre y derivaciones por D.M. Jackson. El denominador, por supuesto, es el total de permutaciones de la baraja cuando ignoramos el palo. Este juego exacto también fue analizado en _Sobre el comportamiento asintótico de una prueba de emparejamiento de cartas_ lem por Knudsen y Skau.
