He estado tratando de resolver el siguiente problema del libro de cálculo de Stewart por un tiempo sin éxito. Mi respuesta tiene sentido, pero estoy buscando una manera de resolverlo analíticamente.
El problema se refiere a una polea que está sujeta al techo de una habitación en un punto C por una cuerda de longitud r . En otro punto B en el techo, a una distancia d de C (donde d > r ), una cuerda de longitud l se adjunta y se pasa a través de la polea en F y conectado a un peso W . El peso se libera y se apoya en su posición de equilibrio D . Esto sucede cuando la distancia ED | se maximiza. Muestra que cuando el sistema alcanza el equilibrio, el valor de x es:
$$ \frac {r}{4d}(r+ \sqrt {r^2+8d^2})$$
Esto es lo que he hecho. Primero, expresé DE | como una función de x
$$|DE|(x)={a}_{2}+{a}_{3}=l-{a}_{1}+ \sqrt {{r}^{2}-{x}^{2}}=l- \sqrt {{a}_{3}^2+y^2}+ \sqrt {r^2-x^2}$$
de lo que sigue que $$|DE|(x)=l- \sqrt {r^2+d^2-2xd}+ \sqrt {r^2-x^2}$$ definido para $$0 \leq x \leq r$$
...y funciona desde $$|DE|(0)=l+r- \sqrt {r^2+d^2}$$ y $$|DE|(r)=l-|r-d|$$
Para encontrar el máximo de esta función, calculé |DE|'(x)
$$|DE|'(x)= \frac {d}{ \sqrt {r^2+d^2-2xd}}- \frac {x}{ \sqrt {r^2-x^2}}$$
Probé que los dos radicales en el denominador están definidos para $$0 \leq x < r$$
...así que básicamente estoy interesado en encontrar cuando |DE|'(x) es igual a cero, más específicamente las raíces de
$$d \sqrt {r^2-x^2}-x \sqrt {r^2+d^2-2xd}=0$$ que se convierte en
$$2dx^3-(r^2+2d^2)x^2+d^2r^2=0$$
Hice un gráfico |DE|(x) y |DE|'(x) (usando l \= 15, r \= 3, y d \= 4), son consistentes con el problema. |DE|'(x) tiene una sola raíz a unos 2,76 y en el mismo punto |DE|(x) tiene su máximo. Además, si sustituye mis números de prueba por l , r y d en la fórmula dada para |DE|(x) como máximo se obtiene el mismo resultado numérico.
Entonces, ¿cómo fue capaz el autor del problema de encontrar una solución analítica al problema?
¡Gracias!
