$||x||=1$ In$K/\mathbb{Q}$ implica que$x$ es la raíz de la unidad.

Question

Deje $K/\mathbb{Q}$ finita (es decir, algebraicas y finitely generado) de extensión. Deje $x \in K$, de tal manera que $||x||=1$ para todos los normalizado de los valores absolutos de $K$, pero en la mayoría de uno. A continuación, $x$ es una raíz de la unidad.

Por la fórmula del producto llego $||x||=1$ para todos los normalizado de los valores absolutos de $K$. Por lo tanto $x \in S^1$, visto como la incrustación $K \subset \mathbb{C}$.

Pero ahora estoy un poco confundido. Deje $x = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$ muestra que las condiciones de $x$ algebraicas y $x \in S^1$ no son suficientes para $x$ a raíz de la unidad, por lo tanto voy a tener que usar que el $p$-ádico absolutos son $1$. Sin embargo, me siento un poco despistado sobre cómo continuar. Mi intuición me decía que en el ejemplo anterior, algo va a ir mal para $p_i | (5)$, $p_i$ un alojamiento ideal en $\mathbb{Q}(x)$, luego de tomar la $p_i$-valoración. Yo no sé realmente si esto es cierto, aunque, como no conozco ninguna declaración acerca de los valores absolutos en campos como la da $K$, pero la existencia, la definición y la fórmula del producto. También, la comprensión del ejemplo, todavía no me da una solución.

Answer 1

La arquímedes lugares de $K$ corresponden a las habituales en valor absoluto en $\Bbb C$, después de la primera aplicación de las incrustaciones $K\hookrightarrow\Bbb C$. Por lo tanto si $|x|=1$ para todos los lugares de arquímedes, sabemos que todos los de $x$'s conjugados tienen (la costumbre) valor absoluto $1$. Considere el polinomio mínimo de a $x$. En mi Stewart & Tall, el siguiente lema es utilizado en la demostración de Dirichlet de la unidad teorema:

Lema. Si $p(t)\in\Bbb Z[t]$ es un monic polinomio cuyas raíces tienen valor absoluto $1$, entonces todas sus raíces son las raíces de la unidad. La prueba se desarrolla como sigue:

• Decir $p(t)=(t-a_1)\cdots(t-a_k)$ y definen $p_\ell(t)=(t-a_1^\ell)\cdots(t-a_k^\ell)$
• Como simétrica polinomios en $a_1,\cdots,a_k$, los coeficientes de $p_\ell(t)$ son enteros
• $t^j$ coef. de $p_\ell$ son los siguientes: $|e_{k-j}(a_1^\ell,\cdots,a_k^\ell)|=|\sum\square|\le\sum|\square|=\sum1=\binom{k}{j}$ (Vieta)
• Sólo un número finito de $f(t)\in\Bbb Z[t]$ la satisfacción de tales límites, por lo $p_1,p_2,p_3,\cdots$ tiene un repita
• Decir $p_\ell(t)=p_m(t)$. Por lo $\exists\pi\in S_k$ tal que $a_j^\ell=a_{\pi(j)}^m$ (para cada una de las $j=1,\cdots,k$)
• Por lo tanto $a_j^{\ell^2}=(a_{\pi(j)}^m)^\ell=(a_{\pi(j)}^\ell)^m=a_{\pi^2(j)}^{m^2}\Rightarrow\cdots\Rightarrow a_j^{\ell^{\large k!}}=a_j^{m^{\large k!}}\Rightarrow a_j^{\ell^{\large k!}-m^{\large k!}}=1$ por cada $j$

No estoy seguro de si esto es deseable para una tarea de ejercicio, pero es una divertida prueba, no obstante.

Answer 2

Aquí es lo que finalmente me hizo (no hay garantía para la corrección):

Primera nota de que, como las localizaciones $R_\mathfrak{p}$ están dadas por $\{y \in K\mid ||y||_\mathfrak{p} \leq 1\}$, $x$ está contenido en todos los $R_\mathfrak{p}$, por tanto, también en $R$ ($R$la integral de cierre de $\mathbb{Z}$$K$).

Deje $r_1$ ser el número de la real incrustaciones de $K$, vamos a $2r_2$ el número de su complejo de incrustaciones en $\mathbb{C}$.

Deje $\mathfrak{L}: K^\ast \rightarrow \mathbb{R}^{r_1+r_2}, y \mapsto (\log(|\sigma_1(y)|),...,\log(|\sigma_{r_1+r_2}(y)|)$

A continuación, le había visto como un Lema de Dirichlet de la unidad teorema:

Deje $B \subset \mathbb{R}^{r_1+r_2}$ compacto. A continuación, $\mathfrak{L}^{-1}(B) \cap R$ es finito.

Ahora, en nuestro caso: tome $B = 0 \in \mathbb{R}^{r_1+r_2}$.

Como para todos los $n \in \mathbb{N}$: $x^n \in \mathfrak{L}^{-1}(B) \cap R$, hemos terminado.