Superficies isométricas pero con formas diferentes en$\mathbb{R}^3$

Question

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones para superficies en $\mathbb{R}^3$ $M_1,M_2$:

1. $M_1,M_2$ tienen la misma forma, es decir, están relacionados por un ambiente isometría
   ⇆ $M_1,M_2$'s de la primera y segunda formas fundamentales de acuerdo

2. → $M_1,M_2$ son isométrica
   ⇆ $M_1,M_2$'s primero de las formas fundamentales de acuerdo

3. → $M_1,M_2$ tienen la misma curvatura de Gauss

4. → $M_1,M_2$ tienen el mismo género (por cerrado superficies)

En una más pegadizo forma: la forma → métrica → curvatura → género

Sé el estándar de ejemplos de isométrica, pero de diferente forma, las superficies en $\mathbb{R}^3$: plano, cono, cilindro.

Estoy buscando (otros) ejemplos de

• isométrica, pero de diferente forma, de las superficies (preferiblemente cerrado)

• no isométrica de las superficies con la misma curvatura

Supongo que no hay forma diferente superficies de forma isométrica a la esfera, hay?

Pero, ¿qué acerca de otras superficies convexas (estrictamente positiva, pero no de curvatura constante)? O superficies arbitrarias homeomórficos a la esfera? O al toro?

(Una imagen de la galería sería muy bienvenido, porque realmente me gustaría ver a dos de los (no)isométrica de las superficies.)

Answer 1

Hay un continuo, isométrica de deformación entre un catenoid y helicoidal.

Una parametrización de una deformación está dada por el sistema de $$\begin{align} x(u,v) &= \cos \theta \,\sinh v \,\sin u + \sin \theta \,\cosh v \,\cos u\\ y(u,v) &= -\cos \theta \,\sinh v \,\cos u + \sin \theta \,\cosh v \,\sin u\\ z(u,v) &= u \cos \theta + v \sin \theta \, \end{align}$$

para $(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)$, con deformación del parámetro $-\pi < \theta \le \pi$ donde $\theta = \pi$ corresponde a diestro helicoidal, $\theta = \pm \pi / 2$ corresponde a un catenoid, y $\theta = 0$ corresponde a un zurdo helicoidal.

De hecho, hay muchas de esas familias de isométricos de las superficies mínimas.