Problema de divisibilidad utilizando inducción

Question

Si $S_n=(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n$ muestra que $S_n$ es un número entero y que $S_{n+1}=6S_n-4S_{n-1}$. Además, deduce que el siguiente número entero mayor que $(3+\sqrt{5})^n$ es divisible por $2^n$.

Mi trabajo hasta ahora: He completado la parte 1 usando inducción matemática, pero es la parte 2 de la divisibilidad donde estoy atascado.

Answer 1

Primero argumenta que $\lceil (3+\sqrt{5})^n\rceil=S_n$ (pista: $(3-\sqrt{5})^n<1$ y $S_n\in\mathbb{N}$), así que en realidad queremos demostrar que $S_n$ es divisible por $2^n$.

Demuestra el resto por inducción usando la relación que dedujiste, notando que $6=2\cdot 3$ y $4=2^2$

Answer 2

Tal vez debería mencionarse que la matriz $$ A = \begin{bmatrix} 3 + \sqrt{5} & 0\\ 0 & 3 - \sqrt{5} \end{bmatrix} $$ tiene un polinomio mínimo sobre $\mathbf{Q}$ dado por $x^{2} - 6 x + 4$, de modo que $$ A^{2} - 6 A + 4 = 0 $$ y así $$ A^{n+2} - 6 A^{n+1} + 4 A^{n} = 0. $$ Tomando trazas, y notando que $S_{n} = \operatorname{tr}(A^{n})$, se obtiene la primera parte.

Answer 3

Esto no es elemental, pero, por completitud, me gustaría ponerlo aquí.
Dado que $S_n\in \mathbb Q(\sqrt5)$ y $\sigma (S_n)=S_n$, donde $\sigma$ es el automorfismo de $\mathbb Q(\sqrt5)$ que envía $\sqrt5$ a $-\sqrt5$, $S_n\in \mathbb Q$. Además, $3+\sqrt5$ y $3-\sqrt5$ son ambos enteros algebraicos, por lo tanto también lo es $S_n$. Así que $S_n$ es un entero algebraico racional, Por este teorema, $S_n$ es entonces un entero. Luego, nota que, como $(3+\sqrt5)^2=14+6\sqrt5$, la relación sigue para $A_n:=(3+\sqrt5)^n$, y también para $B_n:=(3-\sqrt5)^n$, por lo tanto también para $S_n=A_n+B_n$. Ahora, para la última parte, observa que, como L.F. señaló, es suficiente probar que $2^n\mid S_n$.
Escribe $A_n=p_n+q_n\sqrt5$, entonces $B_n=p_n-q_n\sqrt5$, así que $S_n=2p_n$. Al hacer cálculos encontramos que

$p_{n+1}=3p_n+5q_n$ y $q_{n+1}=p_n+3q_n$.

Para $n=1$, sabemos que tanto $p_n$ como $q_n$ son divisibles por $2^{n-1}$. Según las relaciones anteriores, esto nos dice que, para todo $n$, ambos $p_n$ y $q_n$ son divisibles por $2^{n-1}$. En consecuencia, $S_n$ siempre es divisible por $2^n.
Q.E.D.