Problema de divisibilidad mediante inducción

Question

Si$S_n=(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n$ muestra que$S_n$ es entero y que$S_{n+1}=6S_n-4S_{n-1}$. Además deducir que el siguiente entero mayor que$(3+\sqrt{5})^n$ es divisible por$2^n$.

Mi trabajo hasta el momento: He hecho la parte 1 utilizando la inducción matemática, pero es parte 2 de la divisibilidad donde estoy atrapado

Answer 1

Primero argumenta que$\lceil (3+\sqrt{5})^n\rceil=S_n$ ( sugerencia: $(3-\sqrt{5})^n<1$ y$S_n\in\mathbb{N}$), por lo que realmente queremos mostrar que$S_n$ es divisible por$2^n$.

Probar el resto por inducción usando la relación que dedujiste, observando que$6=2\cdot 3$ y$4=2^2$

Answer 2

Quizás debería mencionarse que la matriz $$ A = \begin{bmatrix} 3 + \sqrt{5} & 0\\ 0 & 3 - \sqrt{5} \end {bmatrix} $$ tiene un polinomio mínimo sobre$\mathbf{Q}$ dado por$x^{2} - 6 x + 4$, de modo que $$ A ^ {2} - 6 A 4 = 0 $$ y, por tanto, $$ A ^ {n 2} - 6 A ^ {n 1} 4 A ^ {n} = 0. $$ Tomando huellas y notando que$S_{n} = \operatorname{tr}(A^{n})$ , Uno obtiene la primera parte.

Answer 3

Este no es elemental, pero, en aras de la exhaustividad, me gustaría poner aquí.
Desde $S_n\in \mathbb Q(\sqrt5)$ $\sigma (S_n)=S_n$ donde $\sigma$ es el qutomorphism de $\mathbb Q(\sqrt5)$ que envía a $\sqrt5$ a $-\sqrt5$, $S_n\in \mathbb Q$. Por otra parte, $3+\sqrt5$ $3-\sqrt5$ son tanto algebraica de los números enteros, por lo tanto también lo es $S_n$. Por lo $S_n$ es un racionales algebraicas entero, Por este teorema, $S_n$ es por lo tanto un número entero. El próximo aviso de que, desde la $(3+\sqrt5)^2=14+6\sqrt5$, la relación de la siguiente manera para $A_n:=(3+\sqrt5)^n$, y también para $B_n:=(3-\sqrt5)^n$, por lo tanto para $S_n=A_n+B_n$. Ahora, para la última parte, observa que, como L. F. señalado, es suficiente para probar que $2^n\mid S_n$.
Escribir $A_n=p_n+q_n\sqrt5$,$B_n=p_n-q_n\sqrt5$, lo $S_n=2p_n$. Por los cálculos nos encontramos con que

$p_{n+1}=3p_n+5q_n$ $q_{n+1}=p_n+3q_n$ .

Para $n=1$, sabemos que tanto $p_n$ $q_n$ son divisibles por $2^{n-1}$. Por las relaciones anteriores, esto nos dice que, para todos los $n$ ambos $p_n$ $q_n$ son divisibles $2^{n-1}$. En consecuencia, $S_n$ es siempre divisible por $2^n$.
Q. E. D.