Fórmula para la secuencia formada por los dígitos de los números naturales

Question

Considere la siguiente secuencia:$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 3, \ldots$ $ que se forma extrayendo los dígitos de los números naturales. ¿Existe alguna fórmula para el término general de esta secuencia?

Todo lo que puedo pensar es un algoritmo para obtener sus términos:

$n = 1$ Si$n$ no es demasiado grande {extraiga los dígitos de$n$ e introdúzcalos en la secuencia, luego configure$n = n + 1$} "

Answer 1

Usted puede calcular cuántos dígitos están representados por cada década. El dígito de los números de suministro de la primera $9$ términos, los dos números de un dígito de suministro de $2\cdot 90=180$, los números de tres dígitos con el siguiente $3\cdot 900=2700$ y así sucesivamente. Si usted quiere encontrar el dígito en la posición $n$, en primer lugar, encontrar la década en la que están. El $d$ números de un dígito final en $\sum_{i=1}^d 9\cdot i \cdot 10^{i-1}=9\frac{d10^{d+1}-(d+1)x^d+1}{81}=\frac{d10^{d+1}-(d+1)x^d+1}{9}$. Luego de averiguar dónde usted está en el decenio. Por ejemplo, si desea que el $5000$th plazo, el uno, el dos y el tres números de un dígito rellenar $2889$, por lo que queremos que la $2111$st plazo de los cuatro números de dos dígitos. Esto es parte de la $\lceil \frac {2111}4 \rceil = 528$th número, que es el $1527$. Entonces es el $2111-1 \pmod 4 +1=3$rd dígitos de este, por lo $2$